(수능 기출) 2019학년도 수능 수학 가형 30번

2019학년도 수능 가형 30번 문제입니다.

설명하기 위해서 풀이가 좀 장황해진 느낌은 있지만 사실 풀이 과정이 (타 수능 문제 대비 상대적으로..)그렇게 어려운 문제는 아니었다고 생각하는데 문제를 푸시는 학생분들 입장에서는 어떠실지 모르겠네요😅

 

아래와 같은 순서로 풀이를 해나갑니다.

🔑1 : $g(x)$를 미분해보면서 어떠한 경우에 $g'(x)=0$, 즉 $\alpha$가 발생하는지

 

🔑2 : 문제에 나온 조건으로 $f(x)$의 식을 설정하고 $\alpha$값들이 어떠한 형태의 값들인지 확실히 하기.

 

🔑3 : $\frac{1}{g(\alpha_5)}=\frac{1}{g(\alpha_2)} + \frac{1}{2}$ 식에서 $\alpha_5$, $\alpha_2$ 중 적어도 하나는 $-\frac{m}{9}$ 값을 가져야 함을 보임(m값은 제가 문제 풀이 과정에서 임의적으로 설정한 문자입니다. 풀이 과정에서 알게 되실 겁니다.)

 

🔑4 : 1. $\alpha_2 = -\frac{m}{9}$ 상황 // 2. $\alpha_5 = -\frac{m}{9}$상황 중 문제 조건에 위배되지 않는 상황을 밝혀내고, 

 

🔑5 : $\alpha_5 = -\frac{m}{9}$ 에서 문제 답 유도해내기

 

그러면 이제 시작해보죠ㅎㅎ

 

 

 

 

🔑1

먼저 $g(x)$가 $x=\alpha$에서 극값을 가지기 때문에 $g(x)$를 미분하는 것 부터 시작해야겠죠?

$-1\leq\sin(f(x))\leq1$이므로 분모는 0이 되지 않으며 항상 양수의 값을 가지기 때문에 도함수 내에 분자 성분으로만 함수의 극점이 결정됨을 알 수 있습니다.

 

 

따라서, 함수 $g(x)$는

1. $f'(x)=0$이 되는 곳,

2. $cos(f(x))=0$, 즉 $f(x)= \frac{2k-1}{2}\pi$(예를 들어 $\frac{1}{2}\pi$, $\frac{3}{2}\pi$, ...)

 

두가지 경우에서 극값을 가짐을 알 수 있습니다.

 

 

 

🔑2

이제 문제의 정보를 이용하여 함수 $f(x)$를 설정해야겠다고 생각했습니다.

이와 같은 과정으로 함수 $f(x)$의 미정 계수들을 어느정도 줄일 수 있게 되었습니다.(a 제외)

$f(x)= 6\pi x^3+ax^2+\frac{\pi}{6}$

여기서 문제 에서 요구하는 답에 해당하는 $a^2$값과 혼동하지 않기 위해, 그리고 문제 풀이의 편의상 $a$를 $m\pi$로 설정하겠습니다.

$$f(x)= 6\pi x^3+m\pi x^2+\frac{\pi}{6} , f'(x)= 18\pi x^2+2m\pi x = 2\pi x(9x+m)$$

 

 

 

위에서 구했던 바에 의하면 함수 $g(x)$는

1. $f'(x)=2\pi x(9x+m)=0$이 되는 곳,

2. $cos(f(x))=0$, 즉 $f(x)= \frac{2k-1}{2}\pi$(예를 들어 $\frac{1}{2}\pi$, $\frac{3}{2}\pi$, ...)

위 두가지 상황에 극값을 가지게 되므로, 즉 함수 $g(x)$는

 

$x = 0, -\frac{m}{9}$ 또는 $f(x) = \frac{2k-1}{2}\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$ 로 만드는 $x$들에서 극값을 가짐을 알 수 있습니다.

$\alpha_1 = 0$이었고,

 

 

 

**$\alpha_2$, $\alpha_3$, $\alpha_4$... 들은 $-\frac{m}{9}$이거나, $f(x) = \frac{2k-1}{2}\pi$로 만드는 $x$들이라고 할 수 있습니다.**

 

 

 

 

🔑3

이제 $\frac{1}{g(\alpha_5)}=\frac{1}{g(\alpha_2)} + \frac{1}{2}$ 등식을 살펴보죠.

 

위 등식의 $g$함수에 관한 식을 $f$에 관한 식으로 고치면,

 

$$sin(f(\alpha_5)) = sin(f(\alpha_2)) + \frac{1}{2}$$

위 형태로 식을 고칠 수 있습니다.

 

여기서 만약 $\alpha_5$나 $\alpha_2$ 두 값 모두 $-\frac{m}{9}$가 아니라면,

$f(\alpha_5)$ 와 $f(\alpha_2)$ 모두 $\frac{2k-1}{2}\pi$ 값을 가지게 됩니다. 이 때, $sin(f(\alpha_5)), sin(f(\alpha_2))$는 -1 또는 1의 값을 가지게 되고,

 

$sin(f(\alpha_5))=1$, $sin(f(\alpha_2))=-1$

$sin(f(\alpha_5))=-1$, $sin(f(\alpha_2))=1$

$sin(f(\alpha_5))=1$, $sin(f(\alpha_2))=1$

$sin(f(\alpha_5))=-1$, $sin(f(\alpha_2))=-1$

 

중 어느 상황에서도 $sin(f(\alpha_5)) = sin(f(\alpha_2)) + \frac{1}{2}$이 만족되지 않습니다.

따라서 $\alpha_5$, $\alpha_2$ 중 적어도 하나는 $-\frac{m}{9}$의 값을 가져야 합니다.

그래서 1. $\alpha_2 = -\frac{m}{9}$ 상황 // 2. $\alpha_5 = -\frac{m}{9}$ 두가지 상황으로 나누어 문제를 풀 것입니다.

 

 

 

🔑4

※ 1. $\alpha_2 = -\frac{m}{9}$일 때 (모순임을 밝힐 것입니다!)

 

 

$sin(f(\alpha_5)) = sin(f(\alpha_2)) + \frac{1}{2}$ 등식에 $f(\alpha_5)=\frac{5}{2} \pi$를 대입하면 $sin(f(\alpha_2))= \frac{1}{2}$결과가 나오게 되고,

$-\frac{\pi}{2}\leq f(\alpha_2)<\frac{\pi}{6}$에 대해서 $sin(f(\alpha_2))= \frac{1}{2}$의 해가 없음을 알 수 있습니다.

따라서 $\alpha_2 = -\frac{m}{9}$는 모순되는 상황입니다.

 

 

※ 2. $\alpha_5 = -\frac{m}{9}$일 때 (여기서 답이 나옵니다)

** $g'(x)$ 값을 0이 되도록 하는 $x$를 순서대로 나열한 것이 $\alpha$ 값들 이라는 점,

** $f(x)$가 (0,$-\frac{m}{9}$)에서 단조 감소함을 이용하여

$f(\alpha_2)=-\frac{\pi}{2}$이고, $-\frac{7}{2} \pi \leq f(\alpha_5) < -\frac{5}{2} \pi$임을 밝혀 냈습니다.

 

 

 

 

🔑5(마지막!)

이렇게 알아낸 것들을 $sin(f(\alpha_5)) = sin(f(\alpha_2)) + \frac{1}{2}$에 대입하여 m값을 구하고 문제 답을 쓸게요.

이렇게 문제의 답 $a^2 = 27$이 나왔습니다.

 

 

 

풀이 과정에 대해서 요약하자면,

🔑1 : $g(x)$를 미분해보면서 어떠한 경우에 $g'(x)=0$, 즉 $\alpha$가 발생하는지

1. $f'(x)=0$이 되는 곳,

2. $cos(f(x))=0$, 즉 $f(x)= \frac{2k-1}{2}\pi$(예를 들어 $\frac{1}{2}\pi$, $\frac{3}{2}\pi$, ...)

 

 

🔑2 : 문제에 나온 조건으로 $f(x)$의 식을 설정하고 $\alpha$값들이 어떠한 형태의 값들인지 확실히 하기.

 

$\alpha_1 = 0$이고, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\alpha_4$... 들은 $-\frac{m}{9}$이거나, $f(x) = \frac{2k-1}{2}\pi$로 만드는 $x$들임.

 

 

🔑3 : $\frac{1}{g(\alpha_5)}=\frac{1}{g(\alpha_2)} + \frac{1}{2}$ 식에서 $\alpha_5$, $\alpha_2$ 중 적어도 하나는 $-\frac{m}{9}$ 값을 가져야 함을 보임

 

$\frac{1}{g(\alpha_5)}=\frac{1}{g(\alpha_2)} + \frac{1}{2}$ 👉 $sin(f(\alpha_5)) = sin(f(\alpha_2)) + \frac{1}{2}$으로 식 변형,

 

$sin(f(\alpha_5))$, $sin(f(\alpha_2))$가 -1 또는 1의 값을 가지면 위의 식을 만족하지 못하므로, $\alpha_5$, $\alpha_2$ 중 적어도 하나는 $-\frac{m}{9}$

 

 

🔑4 : 1. $\alpha_2 = -\frac{m}{9}$ 상황 // 2. $\alpha_5 = -\frac{m}{9}$상황 중 문제 조건에 위배되지 않는 상황을 밝혀내고, 

2. $\alpha_5 = -\frac{m}{9}$에서만 문제 조건을 만족할 수 있음, 이때 $f(\alpha_2) = -\frac{\pi}{2}$, $f(\alpha_5) = -\frac{17}{6} \pi$

 

 

🔑5 : $\alpha_5 = -\frac{m}{9}$ 에서 문제 답 유도해내기

$m=-9$, $f(-\frac{1}{2})=-3\pi + \frac{\pi}{6}$, $f'(-\frac{1}{2})=\frac{27}{2} \pi$, $g'(-\frac{1}{2}) = 3\sqrt{3} \pi$, $\therefore  a^2=27$

 

 

이상으로 풀이를 마치겠습니다!