H쌤의 수학

2018년도 7월 교육청 모의고사 수학 가형 21번 문항입니다.

이 문제는 좀 쉬운 편에 속한다고 생각합니다 :) (상대적으로)

$\angle{POA} = \theta$ 일 때, $\angle{PQA} = \frac{\theta}{2}$라는 것을 원주각의 성질을 통해서 알게 된다면, 도형 길이들을 표현 하는 것이 꽤 수월하고, 함수의 극한 구하는 과정 식 또한 간단합니다.

아무튼 풀이 과정의 목차를 말씀드리자면,

🔑1 : 점 P, Q, R의 좌표를 $\theta$에 관해서 표현하고, 문제 풀이상 필요한 몇 개 각도 표현하기.

🔑2 : $S(\theta), T(\theta)$식을 $\theta$에 관한 식으로 고치기

🔑3 : 함수의 극한 식 $\lim_{\theta \to 0+} \frac{\theta^2 S(\theta)}{T(\theta)}$의 극한값 구하기.

시작하겠습니다 :)

🔑1

점 P, Q, R의 좌표를 $\theta$에 관해서 표현하고, 문제 풀이상 필요한 몇 개 각도 표현하기.

원주각의 성질, 동위각의 성질을 이용하여 $\angle{PQN} = \angle{NQR} = \frac{\theta}{2}$임을 밝혀내는 것이 중요합니다.

🔑2

$S(\theta), T(\theta)$식을 $\theta$에 관한 식으로 고치기

다음과 같은 과정으로

$$S(\theta) = 2 cos^3(\theta)cos(\theta)sin(\frac{\theta}{2}), T(\theta) = 2 cos(\theta) sin(\theta) sin^2(\frac{\theta}{2})$$

임이 밝혀졌습니다.

🔑3

함수의 극한 식 $\lim_{\theta \to 0+} \frac{\theta^2 S(\theta)}{T(\theta)}$의 극한값 구하기.

$$\therefore \lim_{\theta \to 0+} \frac{\theta^2 S(\theta)}{T(\theta)} = 2$$

별다른 첨언이 굳이 필요가 없는 문제라 포스팅이 좀 간단하네요😅

이상으로 풀이를 마치겠습니다.

18학년도 수능 문제입니다.

문제를 보면 $x$도 보이고, $t$도 보이고 $k$도 보여서 순간 어지러웠지만..

정신을 한데 모아 $t$에 관한 문제로 바라보아야합니다😂

아무튼 문제 풀이를 시작할게요.

풀이 과정 목차는 다음과 같습니다.

🔑1 : $f(x)$와, $[k,k+8]$내에서 의 $cos(\pi x)$의 그래프가 어떻게 그려지는지를 생각하며, $t$에 관한 함수 $g(t)$에 대한 감 가져보기

🔑2 : $t$의 위치에 따라서 식의 형태가 달라지는 $g(t) = \int_{k}^{k+8} f(x)cos(\pi x) dx$의 식 정리해보기

           (여기가 좀 많이 힘듭니다,, 나머지는 쉬워요!)

🔑3 : $g(t)$의 그래프를 그리면서 $g(t)$의 극점 파악하기

🔑4 : 문제 답 구하기

그러면 시작하겠습니다!!

🔑1

$f(x)$와, $[k,k+8]$내에서 의 $cos(\pi x)$의 그래프가 어떻게 그려지는지를 생각하며, $t$에 관한 함수 $g(t)$에 대한 감 가져보기

-먼저 함수 $f(x)$의 그래프를 그려보면,

다음과 같이 그려짐을 알 수 있습니다. 여기서 기억해야 할 점은 $f(x)$는 길이가 2인 구간에서만 0이 아닌 값을 가지며, 그 나머지에서는 0의 값을 가진다는 점입니다.

-다음으로, 어떤 홀수 $k$에 대하여 폐구간 $[k,k+8]$ 내에서 $cos(\pi x)$의 그래프를 그려보면,

홀수 $k$에 대하여 $cos(k \pi)$의 값은 -1을 가지게 되므로, $x = k, k+2, k+4, k+6$에서 $cos(\pi x)$의 값은 -1, $x = k+1, k+3, k+5, k+7$에서는 $cos(\pi x)$의 값은 1을 가지게 되므로, $cos(\pi x)$의 그래프는

다음과 같이 그려짐을 알 수 있습니다.

-이제 $g(t) = \int_{k}^{k+8} f(x)cos(\pi x) dx$ 가 어떠한 형태로 $t$에 관한 함수를 취하게 될지를 생각해 보겠습니다.

구간의 길이가 2인 개구간 $(t-1,t+1)$에서만 0의 값을 가지지 않는 함수 $f(x)$와 함수 $cos(\pi x)$를 곱한 함수를,

어떤 홀수 k에 대하여 폐구간 $[k,k+8]$ 내에서 적분하는 식이 $g(t) = \int_{k}^{k+8} f(x)cos(\pi x) dx$입니다. 

이 정적분 식이 어떻게 $t$에 관한 함수로 표현되는지에 대해서 생각해보면, 폐구간 $[k,k+8]$내에서 $t$가 어느 위치에 있느냐에 따라서 함수의 정적분 값이 달라지기 때문입니다. 

따라서 $t$의 위치에 따라서 $g(t) = \int_{k}^{k+8} f(x)cos(\pi x) dx$를 어떻게 정리할 수 있을지를 생각해 보셔야 됩니다.

🔑2

$t$의 위치에 따라서 식의 형태가 달라지는 $g(t) = \int_{k}^{k+8} f(x)cos(\pi x) dx$의 식 정리해보기

-그래서 경우를 나누어 보자면,

길이가 2인 $[t-1,t+1]$구간이 길이가 8인 [k,k+8]과 겹쳐지는 곳이 존재하지 않는다면, $[k,k+8]$내에서 함수 $f(x)$의 값은 무조건 0의 값을 취하기에, $g(t) = \int_{k}^{k+8} f(x)cos(\pi x) dx$의 값은 반드시 0을 취하게 되고,

$[t-1,t+1]$구간이 $[k,k+8]$구간과 겹칠 때에만 0이 아닌 값을 취할 가능성이 있다는 것을 생각하여,

t의 위치에 따라서 다음과 같이 $i, ii, iii, iv, v$의 다섯가지 경우로 나누어 식을 정리할 수 있음을 알 수 있습니다.

i) $f(x)$의 기울기가 -1인 부분의 일부만 $[k,k+8]$에 포함될 때

ii) $f(x)$의 기울기가 -1인 부분과 기울기가 1인 부분의 일부가 $[k,k+8]$에 포함될 때

iii) $f(x)$의 기울기가 -1인 부분, 1인 부분 모두 $[k,k+8]$에 포함될 때

iv) $f(x)$의 기울기가 1인 부분과 기울기가 -1인 부분의 일부가 $[k,k+8]$에 포함될 때

v) $f(x)$의 기울기가 1인 부분의 일부만 $[k,k+8]$에 포함될 때

왜 함수 $f(x)$의 일부가 $[k,k+8]$에 포함될 때, $f(x)$의 전체가 $[k,k+8]$에 포함될 때 두가지로 경우를 나누지 않고, 더 세분화 시켜서 경우를 나누었는지에 대해서 묻는다면, $f(x)$의 기울기가 1인 부분과 -1인 부분에서의 함수 $f(x)$의 식이

$f(x) = \begin{cases} x-t+1 & (t-1 \leq x \leq t) \\ -x+t+1 & (t \leq x \leq t+1) \\ 0 & (else) \end{cases}$의 형태로 달라지기 때문에,

$\int_{k}^{k+8} f(x)cos(\pi x) dx$의 식이 절댓값을 포함하지 않은 식이 되기 위해서는 다음과 같이 경우를 좀 더 세분화할 필요가 있기 때문입니다.

-따라서 다음 5가지 경우에 따라 $g(t) = \int_{k}^{k+8} f(x)cos(\pi x) dx$의 식을 정리하면 다음과 같습니다.(적분 구간이 어떻게 되는지 유의하면서 보셔야됩니다!)

-위 식들을 적분하기 위해 $\int (x-t+1)cos(\pi x) dx$와 $\int (-x+t+1)cos(\pi x) dx$의 부정적분 식을 정리해서 풀면 적분하기가 되게 노가답니다. 노가다 과정을 간단히 보여드리자면...

-그래서 $g(t) = \int_{k}^{k+8} f(x)cos(\pi x) dx$를 통째로 정리해서 적분하면 좀 더 편하게 적분할 수 있습니다.

아무튼 이렇게 힘든 적분을 끝내고... 이제 $g(t)$의 식을 정리하면..

$$g(t)= \begin{cases} \frac{1}{\pi ^2} cos(\pi t) - \frac{1}{\pi^2} & (k-1 \leq t < k) \\ \frac{3}{\pi^2} cos(\pi t) + \frac{1}{\pi ^2} & (k \leq t < k+1) \\ \frac{4}{\pi ^2} cos(\pi t) & (k+1 \leq t < k+7) \\ \frac{3}{\pi} cos(\pi t) + \frac{1}{\pi ^2} & (k+7 \leq t < k+8) \\ \frac{1}{\pi ^2} cos(\pi t) - \frac{1}{\pi^2} & (k+8 \leq t < k+9) \\ 0 & (else) \end{cases}$$

🔑3

$g(t)$의 그래프를 그리면서 $g(t)$의 극점 파악하기

(🔑2 파트가 좀 많이 힘드셨을텐데 나머지는 쉽게 쉽게 풀립니다ㅎㅎ)

$g(t)= \begin{cases} \frac{1}{\pi ^2} cos(\pi t) - \frac{1}{\pi^2} & (k-1 \leq t < k) \\ \frac{3}{\pi^2} cos(\pi t) + \frac{1}{\pi ^2} & (k \leq t < k+1) \\ \frac{4}{\pi ^2} cos(\pi t) & (k+1 \leq t < k+7) \\ \frac{3}{\pi} cos(\pi t) + \frac{1}{\pi ^2} & (k+7 \leq t < k+8) \\ \frac{1}{\pi ^2} cos(\pi t) - \frac{1}{\pi^2} & (k+8 \leq t < k+9) \\ 0 & (else) \end{cases}$

에 따라 함수 $g(t)$를 $(t,y)$평면에 그려보면 다음과 같이 그려집니다.

$g(t)$의 그래프를 그렸으면 이제 문제 답 구하는 과정은 굉장히 쉽습니다ㅎㅎ.

🔑4

문제 답 구하기

$g(t)$가 $t=\alpha$에서 극소이고, $g(\alpha)<0$ 인 $\alpha$들을 그래프 상에 표시하면 아래 그림에서 빨간색 x 표시를 해둔 곳에서 나타납니다.

따라서 $\alpha$ 값들은 $k, k+2, k+4, k+6, k+8$이며 이들의 합이 45이므로

$k + (k+2) + (k+4) + (k+6) + (k+8) = 5(k+4) = 45$            $k + 4 = 9$

$$\therefore k =5$$

$\alpha_i = k, k+2, k+4, k+6, k+8$에 따라

$g(\alpha_i) = - \frac{2}{\pi ^2}, - \frac{4}{\pi ^2}, - \frac{4}{\pi ^2}, - \frac{4}{\pi ^2}, - \frac{2}{\pi ^2}$이므로

$\therefore \sum_{i=1}^m g(\alpha_i) = - \frac{2}{\pi^2} - \frac{4}{\pi^2} - \frac{4}{\pi^2} - \frac{4}{\pi^2} - \frac{2}{\pi^2} = - \frac{16}{\pi^2}$

$$k-\pi^2 \sum_{i=1}^m g(\alpha_i) = 5 - \pi^2(- \frac{16}{\pi^2}) = 21$$

이렇게 풀이를 마칠게요😉

사실 이 문제는 🔑2 에서 적분하는 과정이 너무 빡세서 어느 정도 직관에 의존하여 $g(t)$가 $t=\alpha$에서 극소이면서 $g(\alpha)<0$인 $\alpha$들을 찾아낼 수 있습니다. 그 과정에 대해서도 써볼까 했지만,, 글이 너무 길어지기도 하고 문자 언어로만 표현하기에는 한계가 있는 탓에, 관심이 있으신 분들은 풀이 영상을 찾아보시면, 굳이 $g(t)$ 함수 그래프를 그리지 않더라도 구할 수 있다는 것을 알 수 있으실 겁니다.(사실 🔑2의 두 번째 방법으로 적분하면 충분히 할만하지만,, 이렇게 적분하지 않고 첫 번째 방법으로 적분하는 것은 너무 오래걸려서, 시험 때는 시간 부족으로 못할 수도 있겠다고 생각이 드네요🥲)