H쌤의 수학

18학년도 6월 모의고사 수학 가형 21번 문제입니다.

이 문제 같은 경우에는 4차 다항식 $f(x)$와 3차 다항식 $g(x)$를 최고차항 계수가 1이라는 것만 보고 $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$, $x^3 + ax^2 + bx + c$의 형태로 두고 문제를 풀면 $F(x)$를 미분하는 것은 할만 하더라도, $G(x)$를 미분한 뒤 $\frac{F'(x)}{G'(x)}$를 표현해 보면, 식이 꽤 복잡합니다.(물론 이렇게 다항식을 두고 문제를 풀 수도 있지만, 이렇게 문제를 풀면 계산이 복잡해져서요... 만약 다른 방법이 떠오르지 않는다면 이렇게 두고서라도 풀어야겠지요🥲)

그래서 $F(x) = ln\left| f(x) \right|$ 이 식을 양변 미분할 때, 만약 $f(x)$가 $(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)(x-\alpha_4)$와 같은 형태로 인수분해가 된다면, $F(x) = ln\left| x - \alpha_1 \right| + ln\left| x - \alpha_2 \right| + ln\left| x - \alpha_3 \right| + ln\left| x - \alpha_4 \right|$가 되고, $F'(x) = \frac{1}{x-\alpha_1} + \frac{1}{x-\alpha_2} + \frac{1}{x-\alpha_3} + \frac{1}{x-\alpha_4}$의 형태로 식을 좀 더 보기 좋게 표현할 수 있겠다는 생각을 하고, 이렇게 $f(x)$와 $g(x)$가 어떠한 형태로 인수분해되는 지에 따라서 경우를 나누어 문제를 푸셔야 훨씬 편하고 빠르게 풀립니다.

그래서 다음과 같은 문제 풀이 과정으로 문제를 풀려 합니다.

🔑1 : 4차 다항식 $f(x)$가 인수분해 되는 형태를 나누기(3가지) / 3차 다항식 $g(x)$가 인수분해 되는 형태를 나누기(2가지)

🔑2 : $\lim_{x \to 1}(x-1)F'(x)=3$을 만족시키는 다항식 $f(x)$ 찾기

🔑3 :  $\lim_{x \to 0}\frac{F'(x)}{G'(x)}=\frac{1}{4}$를 만족시키는 다항식 $g(x)$ 찾기

그러면 문제 풀이 시작하겠습니다!

🔑1

4차 다항식 $f(x)$가 인수분해 되는 형태를 나누기(3가지) / 3차 다항식 $g(x)$가 인수분해 되는 형태를 나누기(2가지)

1. $f(x)$의 경우 나누기

먼저 4차식 $f(x)$는 인수분해되는 형태가 크게 다음 3가지의 경우로 나눌 수 있습니다.

$i)$ $f(x) = x^4+ax^3+bx^2+cx+d$

$ii)$ $f(x) = (x^2+ax+b)(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)$

$iii)$ $f(x) = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)(x-\alpha_4)$

(3가지 경우 내에서 $a,b,c,d$와 $\alpha$값은 모두 실수이며, $x^2+ax+b$와 $x^2+cx+d$는 모두 실계수 범위 내에서 인수분해 되지 않는 다항식)

이렇게 나눌 수 있는 이유를 설명하자면,

먼저 4차함수 $f(x)$는 x축과의 교점을 가지지 않을 때, 즉 $f(x)=0$을 만족시키는 $x$가 실수 내에 존재 하지 않을 때 경우 $i$이고,

$f(x)=0$의 실근 $\alpha_1$ 존재할 때

$f(x)=(x-\alpha_1)(x^3+kx^2+lx+m)$형태로 인수분해 되고,

삼차식 $(x^3+kx^2+lx+m)$은 반드시 실계수인 일차식을 인수로 가지게 되므로 $(x^3 + kx^2 + lx +m) = (x-\alpha_2)(x^2 + ax + b)$의 형태로 인수분해가 가능합니다.

(삼차함수 x^3+kx^2+lx+m는 반드시 x축과의 교점을 적어도 한 개 가지므로)

그러므로 $f(x)=0$의 실근이 존재한다면, $f(x)=(x^2+ax+b)(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)$의 형태로 인수분해가 가능하고,

(경우 $ii$) : $x^2+ax+b$가 실계수 범위 내에서 인수분해가 불가능할 때 $f(x) = (x^2+ax+b)(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)$

(경우 $iii$) : $x^2+ax+b$가 실계수 범위 내에서 인수분해가 가능할 때 $f(x) = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)(x-\alpha_4)$입니다.

-경우 나누는 과정이 글로 된 설명만으로 이해하시기 힘들 것 같기에, 다음과 같이 논리 과정에 대한 약도를 그리면,

다음과 같은 과정으로, $f(x)$가 인수분해 되는 경우를 다음과 같이 3가지로 나누었습니다.

$i)$ $f(x) = x^4+ax^3+bx^2+cx+d$

$ii)$ $f(x) = (x^2+ax+b)(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)$

$iii)$ $f(x) = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)(x-\alpha_4)$

(3가지 경우 내에서 $a,b,c,d$와 $\alpha$값은 모두 실수이며, $x^2+ax+b$와 $x^2+cx+d$는 모두 실계수 범위 내에서 인수분해 되지 않는 다항식)

2. $g(x)$의 경우 나누기(이건 쉽죠?)

$i)$ $g(x) = (x^2+ax+b)(x-\beta_1)$

$ii)$ $g(x) = (x-\beta_1)(x-\beta_2)(x-\beta_3)$

(2가지 경우 내에서 $a,b,c,$와 $\beta$값은 모두 실수이며, $x^2+ax+b$는 실계수 범위 내에서 인수분해 되지 않는 다항식)

경우 $i$는 삼차함수 $f(x)=0$의 실근이 1개인 경우이고, 경우 $ii$는 $f(x)=0$의 실근이 3개일 때 이겠죠(중근, 삼중근 가능)

(참고 사항 1 : 이렇게 $f(x)$와 $g(x)$의 경우를 나누었을 때,

"$x^2+ax+b$, $x^2+cx+d$ 모두 실계수 범위 내에서 인수분해가 되지 않는 다항식이다." 라는 말의 의미는

"이차방정식 $x^2+ax+b=0$ 과 $x^2+cx+d=0$의 실근이 모두 존재하지 않는다"는 말의 의미이고, 이는 곧

"어떤 실수 x를 넣더라도 $x^2+ax+b$ 와 $x^2+cx+d$의 식의 값은 절대 0이 될 수 없다"는 말의 의미와 같습니다.)

(참고 사항 2: 사실 $f(x)=0$의 실근이 존재하지 않더라도, $f(x)$는 반드시 실수 $a,b,c,d$에 대하여

$f(x)= (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$의 형태로 반드시 인수분해가 가능합니다.(물론 $x^2+ax+b$, $x^2+cx+d$는 더이상 인수분해가 안됩니다)

이에 대한 증명을 쓰자니 너무 문제 주제와 벗어나는 것 같아서 설명은 생략하지만, 수II 에서 4차함수와 근과의 관계에 대해서 충분히 공부를 하셨다면 다들 납득하실 내용이고, 납득이 잘 되지 않는 분들을 위하여  https://jwmath.tistory.com/71

링크를 걸어두니 참고해주시면 됩니다. 계수가 실수인 4차식이 계수가 실수인 두 이차식의 곱의 형태로 변환되는 과정에 대해서 쓰여 있습니다.)

자 이제 경우를 나누었으니 $f(x)$하고 $g(x)$를 구하러 가죠 :)

🔑2

$\lim_{x \to 1}(x-1)F'(x)=3$을 만족시키는 다항식 $f(x)$ 찾기

$i)$ $f(x) = x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ 형태일 때,

그러므로 $\lim_{x \to 1}(x-1)F'(x)=3$을 만족시키는 $f(x)$는 존재하지 않습니다.

$ii)$ $f(x) = (x^2+ax+b)(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)$ 형태일 때,

그러므로 이 경우에도 $\lim_{x \to 1}(x-1)F'(x)=3$을 만족시키는 $f(x)$는 존재하지 않습니다.

$iii)$ $f(x) = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)(x-\alpha_4)$ 형태일 때,

$$\therefore   f(x)= x(x-1)^3$$

🔑3

$\lim_{x \to 0}\frac{F'(x)}{G'(x)}=\frac{1}{4}$를 만족시키는 다항식 $g(x)$ 찾기

$g(x)$ 구하기에 앞서 $F'(x)$와 $G'(x)$를 정리해두면 다음과 같습니다.

$i)$ $g(x) = (x^2+ax+b)(x-\beta_1)$형태일 때,

그러므로 $\lim_{x \to 0}\frac{F'(x)}{G'(x)}=\frac{1}{4}$을 만족시키는 $g(x)$는 존재하지 않습니다.

$ii)$ $g(x) = (x-\beta_1)(x-\beta_2)(x-\beta_3)$형태일 때,

다음과 같은 과정으로 $g(x) = x^3$이라는 결과가 나왔습니다.

$$\therefore f(x)=x(x-1)^3, g(x) = x^3, f(3) + g(3) = 3  \times 2^3 + 3^3 = 24 + 27 = 51$$

이상으로 문제 풀이를 마치겠습니다.!