H쌤의 수학

*조건부 확률, 공분산에 대한 개념을 아셔야 이 포스팅*을 이해하실 수 있으실 겁니다.

유한 수정 계수 :

평균이 $\mu$, 분산이 $\sigma^2$인 "무한" 모집단에서 크기가 $n$인 표본을 추출 할 때의 표본평균의 분산은 $\frac{\sigma^2}{n}$ 이지만, 평균이  $\mu$, 분산이 $\sigma^2$이며, 크기가 $N$인 "유한" 모집단에서 크기가 $n$인 표본을 추출 할 때, 그 표본평균의 분산은 $\frac{N-n}{N-1} \frac{\sigma^2}{n}$입니다. 이때 $\frac{\sigma^2}{n}$ 의 앞에 붙는 계수인  $\frac{N-n}{N-1}$을 유한 수정 계수라고 합니다.

(모집단으로부터 크기가 n인 표본을 추출 할 때, 이는 복원 추출이 아닌 비복원 추출입니다. 예를 들어서, 명재와 동현이가 포함된 50명의 학급으로부터 표본 2명을 추출 시에, 표본을 이루는 원소로 이루어진 집합의 형태가 {명재, 동현}은 있지만 {명재, 명재}는 없을 테니깐요. 표본 내에 중복되는 원소가 없다는 뜻입니다.)

*확률 변수 $X_i = (\text{크기가 n인 표본을 추출하는 과정에서 i번째 뽑힌 원소})$라고 설정하고 이야기를 시작하겠습니다.(확률 변수 $X_i$는 이 포스팅 내에서 계속 쓸 것이기 때문에 잘 봐두세요!)

이에 대한 설명을 차근차근 이어나가려고 하는데, 아래와 같은 순서로 이어나가려고 합니다.

🔑1 : 무한모집단에서 크기가 n인 표본을 추출할 시, $i$번째 뽑히는 원소 $X_i$와 $j$번째 뽑히는 원소 $X_j$는 서로 독립이다.

🔑2 : 유한모집단에서 크기가 n인 표본을 추출할 시, $i$번째 뽑히는 원소 $X_i$와 $j$번째 뽑히는 원소 $X_j$는 서로 독립이 아니다.

🔑3 : 유한 수정 계수 증명 1

🔑4 : 유한 수정 계수 증명 2

시작해 보겠습니다😉

-🔑1  : 무한모집단에서 크기가 n인 표본을 추출할 시, $i$번째 뽑히는 원소 $X_i$와 $j$번째 뽑히는 원소 $X_j$는 서로 독립이다-

고등학교 확률과 통계에서 표본을 추출하는 것은 무한 모집단에서 표본을 추출하는 것이었습니다.

모집단으로부터 표본을 하나씩 차례차례 추출해 나간다고 할 때, 만약 모집단이 무한하다면,

하나 하나를 뽑아 나가더라도, 남아 있는 모집단 원소들의 평균과 분산(특성치들)이 변화하지 않을 것입니다.

어느 정도 직관적으로도 모집단의 특성치에 변화가 없을 것이라 예상되지만, 평균이 변하지 않는다는 것을 수학적으로 보여드리자면

$\lim_{N \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^N x_k}{N} = \mu$일 때, 모집단을 구성하는 어떤 특정한 원소 $x_i$가 빠지더라도, $\lim_{N \to \infty} \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_{i-1} + x_{i+1} + \cdots + x_N}{N} = lim_{N \to \infty} [\frac{\sum_{k=1}^N x_k}{N}-\frac{x_i}{N}] = lim_{N \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^N x_k}{N} - lim_{N \to \infty} \frac{x_i}{N} = \mu - 0 = \mu$

여기서 $x_i$하나만 뽑지 않고, 크기가 n 유한한 표본을 추출하더라도 $\lim_{N \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^n x_k}{N} =0$이 유한한 크기 n에 대하여 반드시 성립하므로, 추출하는 표본의 크기가 얼마나 되든, 남아있는 원소들(사실 남아있는 원소가 무한하므로 셀수가 없죠)의 평균이 $\mu$에서 변하지 않음을 알 수 있습니다. 같은 방법으로 분산 또한 변하지 않음을 보일 수 있죠.($\lim_{N \to \infty} \frac{(x_i-\mu)^2}{N} = 0$이니까요)

무한모집단에서 크기가 n인 표본을 추출 시에, $i$번째에 뽑히는 원소와 $j$번째에 뽑히는 원소가 서로 독립임을 가정 할 수 있기 때문에, 서로 독립인 두 확률변수 $X_1$, $X_2$에 대하여, $Var(X_1 + X_2) = Var(X_1) + Var(X_2)$가 성립하므로,

$Var(\bar{X}) = Var(\frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n})= \frac{1}{n^2} Var(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)$

$= \frac{1}{n^2}(Var(X_1) + Var(X_2) + \cdots + Var(X_n)) = \frac{1}{n^2} [ \sigma^2 + \sigma^2 + \cdots + \sigma^2]= \frac{1}{n^2} [n \sigma^2] = \frac{\sigma^2}{n}$

이 식이 고등학교 확률과 통계에서 배운 내용입니다.

-🔑2 : 유한모집단에서 크기가 n인 표본을 추출할 시, $i$번째 뽑히는 원소 $X_i$와 $j$번째 뽑히는 원소 $X_j$는 서로 독립이 아니다-

하지만 유한 모집단에서는 이야기가 다릅니다. 예를 들어서 크기가 100(=N)인 모집단에서 크기가 50(=n)인 표본을 추출 하는 경우를 생각해보죠. 크기가 50인 표본을 하나하나 차례로 추출 할 시에, 맨 처음 100명에서 표본 원소 1개를 추출할 때 그 원소가 가지는 수에 대한 기댓값과 분산, 표본 크기 50명 중 49명까지 추출을 하고, 남은 51명에서 마지막 표본 원소를 추출 할 때 그 원소가 가지는 수에 대한 특성치가 무조건 같을 것이라고 보장 할 수 없을 것입니다.

즉, $i<j$인 자연수 $i,j$에 대하여, 유한모집단으로부터 $i$번째에 뽑히는 원소 $X_i$와 $X_j$가 서로 독립이 아니라는 것입니다.

예를 들어 1,2,3,4,5 로 이루어진 모집단으로부터 크기가 2인 표본을 추출할 시에, 첫 번째로 뽑히는 원소 $X_1 = 5$이면, $X_2$는 절대로 5가 될 수 없습니다. 첫 번째로 뽑히는 원소가 무엇인지에 따라서, 두 번째로 뽑힐 수 있는 원소가 달라지고, 이는 즉 $X_2$는 $X_1$에 의해 영향을 받기에, $X_1$과 $X_2$는 독립이 아닙니다.

자연수 $i$, $j$ ($i < j$)에 대하여, $X_i$와 $X_j$가 서로 독립이 아님을 조건부 확률을 이용하여 증명해 보겠습니다.

크기가 N인 모집단 내에서 특정 원소 $x^{**}$, $x^*$에 대하여, 

①$Pr(X_j = x^{**}, X_i = x^*)$,

②$Pr(X_j = x^{**}) \cdot Pr(X_i = x^*)$

두가지를 구해보겠습니다.(독립이라면, 이 둘이 같은 값을 가져야 하겠죠)

①$Pr(X_j = x^{**}, X_i = x^*) = \underline{Pr(X_j = x^{**} | X_i = x^*)} \cdot Pr(X_i = x^*)$

$Pr(X_j = x^{**} | X_i = x^*)$ 를 다음과 같이 구하겠습니다.

$$\therefore Pr(X_j = x^{**} | X_i = x^*) = \frac{{}_{N-2} {\rm P} {}_{j-2}}{{}_{N-1} {\rm P} {}_{j-2}} \cdot \frac{1}{N-j+1} = \frac{(N-2)!/(N-j)!}{(N-1)!/(N-j+1)!} \cdot \frac{1}{N-j+1}$$

$$= \frac{(N-2)!(N-j+1)!}{(N-1)!(N-j)!} \cdot \frac{1}{N-j+1} = \frac{(N-2)!(N-j+1)!}{(N-1)!(N-j+1)!} = \frac{1}{N-1}$$

(확인 : 이 식에서 $\frac{{}_{N-2} {\rm P} {}_{j-2}}{{}_{N-1} {\rm P} {}_{j-2}}$는 $i$번째에 $x^*$가 있는 상황에서 $(j-1)$ 번째 까지 $x^{**}$가 등장하지 않는 확률을 의미하고,

$\frac{1}{N-j+1}$은 $j$ 번째에 $x^{**}$가 뽑힐 확률을 의미하는 것 이해하시죠?)

이렇게

$$Pr(X_j = x^{**} | X_i = x^*) = \frac{1}{N-1}$$

임이 밝혀졌습니다.

$Pr(X_i = x^*)$도 마저 구해보죠.

$Pr(X_i = x^*)$ => ($i-1$) 번째 까지 $x^*$가 뽑히지 않고, $i$ 번째에 $x^*$가 뽑힐 확률 = ($i-1$)개의 칸이 $x^*$를 제외한 값으로 채워지고, $i$번째 칸이 ($i-1$)번째 칸 까지 채워진 ($i-1$)개의 원소를 제외한 것들 중 $x^*$로 채워질 확률

$$Pr(X_i = x^*) =  \frac{{}_{N-1} {\rm P} {}_{i-1}}{{}_{N} {\rm P} {}_{i-1}} \cdot \frac{1}{N-i+1} = \frac{(N-1)!/(N-i)!}{N!/(N-i+1)!} \cdot \frac{1}{N-i+1} = \frac{(N-1)!(N-i+1)!}{N!(N-i)!} \cdot \frac{1}{N-i+1} = \frac{1}{N}$$

$\therefore Pr(X_j = x^{**} | X_i = x^*) = \frac{1}{N-1}$ , $Pr(X_i = x^*) = \frac{1}{N}$

이렇게

①$Pr(X_j = x^{**}, X_i = x^*) = \underline{Pr(X_j = x^{**} | X_i = x^*)} \cdot Pr(X_i = x^*) = \frac{1}{N-1} \cdot \frac{1}{N} = \frac{1}{N(N-1)}$ 임이 밝혀졌습니다.

위의 과정에서 $Pr(X_i = x^*)$의 의미는 임의의 자연수 $i$에 대하여 $i$번째 뽑히는 표본 원소가 어떤 특정한 값일 확률을 의미하고, 이 식이 $i$의 값에 관계 없이 $\frac{1}{N}$의 확률 값을 가지므로, $Pr(X_i = x^*)$의 확률이나, $Pr(X_j = x^{**})$의 확률 모두 $\frac{1}{N}$의 값을 가지게 됩니다.

②$\therefore Pr(X_j = x^{**}) \cdot Pr(X_i = x^*) = \frac{1}{N} \cdot \frac{1}{N} = \frac{1}{N^2}$

결과적으로 $Pr(X_j = x^{**}, X_i = x^*) = \frac{1}{N(N-1)} \neq Pr(X_j = x^{**}) \cdot Pr(X_i = x^*) = \frac{1}{N^2}$

이렇게 유한 모집단에서 표본을 추출할 시에 $X_i$와 $X_j$가 독립이 아님임이 밝혀졌습니다.

아무튼 🔑2에서 결론적으로 나온 두개의 식

$Pr(X_k = x^*) = \frac{1}{N}$, $Pr(X_j = x^{**}, X_i = x^*) = \frac{1}{N(N-1)}$

은 아래 증명과정에서도 계속 쓸 것이라 반드시 이해하고 넘어가셔야 합니다.

🔑3 : 증명 1 : 유한모집단에서 추출한 표본평균 $\bar{X}$에 대하여, $Var(\bar{X})= \frac{N-n}{N-1} \frac{\sigma^2}{n}$

시작전 헷갈리지 말아야 할 점은, 크기가 N인 모집단을 원소나열법으로 표기하면 {$x_1$, $x_2$, $x_3$, $\cdots$, $x_N$}으로 나타낼 수 있고, 이 모집단으로부터 크기가 n인 표본을 차례로 추출 할 때, 확률변수 $X_i$는 $i$ 번째로 추출된 모집단의 원소입니다.

모집단의 원소들은 소문자 $x$, 표본 추출시 $i$ 번째로 추출되는 표본은 대문자 $X_i$입니다.

증명하기 위해서 몇가지 식을 미리 정리해두겠습니다.

먼저 기본적으로 모집단의 평균인 $\mu$와 분산 $\sigma^2$의 식을 정리해두면,(분산 식을 잘 보셔야합니다)

$\mu = E(X) = \frac{\sum_{k=1}^N x_k}{N}$,

$\sigma^2 = E(X^2)-[E(X)]^2 = \frac{\sum_{k=1}^N {x_k}^2}{N} - [\frac{\sum_{k=1}^N x_k}{N}]^2 = \frac{\sum_{k=1}^N {x_k}^2}{N} - \frac{(\sum_{k=1}^N x_k)^2}{N^2} = \frac{\sum_{k=1}^N {x_k}^2}{N} - \frac{(x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_N)^2}{N^2}$

$=  \frac{\sum_{k=1}^N {x_k}^2}{N} - \frac{{x_1}^2 + {x_2}^2 + \cdots + {x_N}^2 + 2(x_1 x_2 + x_1 x_3 + \cdots + x_1 x_N + \cdots + x_{N-1} x_N)}{N^2} = \frac{\sum_{k=1}^N {x_k}^2}{N} - \frac{\sum_{k=1}^N {x_k}^2 + 2 \sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j}{N^2}$

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*참고

여기서 $(x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_N)^2 = \sum_{k=1}^N {x_k}^2 + 2 \sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j$으로 표기하는 것이 고등학교 과정에서는 잘 나오지 않는 표기 형태이기에 간단히만 설명드리겠습니다.(일일이 설명하려니깐 주제에서 벗어나는 설명이 너무 장황해지는 것 같아서..)

$(x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_N)^2 = (x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_N)(x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_N)$

$= {x_1}^2 + {x_2}^2 + \cdots + {x_N}^2 + (\underline{x_1 x_2 + x_2 x_1 + x_1 x_3 + x_3 x_1 + \cdots + x_1 x_N + x_N x_1 + \cdots + x_{N-1} x_N + x_N x_{N-1}})$

여기서 밑줄 친 $x_1 x_2 + x_2 x_1 + x_1 x_3 + x_3 x_1 + \cdots + x_1 x_N + x_N x_1 + \cdots + x_{N-1} x_N + x_N x_{N-1}$ 해당 부분을 두가지 방법으로 표현할 수 있습니다.

$$x_1 x_2 + x_2 x_1 + x_1 x_3 + x_3 x_1 + \cdots + x_1 x_N + x_N x_1 + \cdots + x_{N-1} x_N + x_N x_{N-1} = \sum_{j \neq i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j = 2 \sum_{j > i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j$$

여기서 첫번째 식 $\sum_{j \neq i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j = \sum_{j \neq i}^N x_j (\sum_{i=1}^N x_i) = \sum_{j \neq i}^N (x_1 x_j + x_2 x_j + x_3 x_j + \cdots + x_N x_j)$로 표현할 수 있고,

$\sum_{j \neq i}^N (x_1 x_j + x_2 x_j + x_3 x_j + \cdots + x_N x_j)$의 의미는 곱해져 있는 형태의 각 항 $x_1 x_j$, $x_2 x_j$, $\cdots$, $x_N x_j$ 들 내에서 앞에 곱해져 있는 $x_i$에서의 $i$값과 같지 않은 모든 1부터 N까지의 자연수를 $j$에 넣어 모두 합친다는 것을 의미합니다. 그래서,

$\sum_{j \neq i}^N (x_1 x_j + x_2 x_j + x_3 x_j + \cdots + x_N x_j) = \sum_{j \neq 1}^N x_1 x_j + \sum_{j \neq 2}^N x_2 x_j + \sum_{j \neq 3}^N x_3 x_j + \cdots + \sum_{j \neq N}^N x_N x_j$

$= (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + \cdots + x_1 x_N)  + (x_2 x_1 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + \cdots + x_2 x_N)$

$+ (x_3 x_1 + x_3 x_2 + x_3 x_4 + \cdots + x_3 x_N) + \cdots + (x_N x_1 + x_N x_2 + x_N x_3 + \cdots + x_N x_{N-1})$

이렇게 표현이 됩니다.

이 전개식에서는 동류항이 각각 2개씩 쌍을 이루며 존재합니다.(예를 들어 첫 번째 괄호 안의 $x_1 x_3$와 세 번째 괄호 안의 $x_3 x_1$은 동류항이므로, 중복되는 항(동류항)이 2개로 쌍을 이룸)

마찬가지의 방법으로 두번째 식 $2 \sum_{j > i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j$를 $2 \sum_{j > i}^N (x_1 x_j + x_2 x_j + x_3 x_j + \cdots + x_N x_j)$로 풀어서 봤을 때,

$\sum_{j > i}^N (x_1 x_j + x_2 x_j + x_3 x_j + \cdots + x_N x_j)$의 의미는 곱해져 있는 형태의 각 항 $x_1 x_j$, $x_2 x_j$, $\cdots$, $x_N x_j$ 들 내에서 앞에 곱해져 있는 $x_i$에서의 $i$값보다 큰 모든 1부터 N까지의 자연수를 $j$에 넣어 모두 합친다는 것을 의미합니다. 그래서,

$2 \sum_{j > i}^N (x_1 x_j + x_2 x_j + x_3 x_j + \cdots + x_N x_j) = 2(\sum_{j > 1}^N x_1 x_j + \sum_{j > 2}^N x_2 x_j +  \cdots + \sum_{j > N-1}^N x_{N-1} x_j + \sum_{j > N}^N x_N x_j)$

$= 2[(x_1 x_2 + x_1 x_3 + \cdots + x_1 x_N) + (x_2 x_3 + x_2 x_4 + \cdots + x_2 x_N) + \cdots + (x_{N-1} x_N) + 0]$의 형태로 정리됨을 알 수 있습니다.

이 전개식에서는 각 항끼리 중복되는 부분(합쳐지지 않은 동류항)이 없습니다.

또한 $2 x_i x_j$ 형태의 항의 갯수가 총 ${}_{N} {\rm C} {}_{2} = \frac{N(N-1)}{2}$개로 나타납니다. (서로 다른 N개 중 2개를 뽑는 경우의 수)

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이제 크기가 N인 모집단으로부터 크기가 n인 표본을 추출할 때 $k$번째로 추출되는 표본 원소의 확률변수 $X_k$에 대한 몇가지 식을 정리하겠습니다. 위에서 구한 $Pr(X_k = x^*)$ ($k$번째로 추출된 원소가 어떤 모집단의 특정 원소 $x^*$일 확률은) $k$의 값에 관계 없이  $\frac{1}{N}$임을 구했으므로,

$E(X_k) = \sum_{i=1}^N x_i  Pr(X_k = x_i) = \sum_{i=1}^N x_i \cdot \frac{1}{N} = \mu$

즉 $k$번째로 추출된 원소의 기댓값은 모집단의 평균인 $\mu$와 동일합니다.

$Var(X_k) = E(X_k^2) - (E(X_k))^2 = \sum_{i=1}^N x_i^2  Pr(X_k^2 = x_i^2) - \mu^2 = \sum_{i=1}^N x_i^2 \cdot \frac{1}{N} - \mu^2 = \sigma^2$

$(\because Pr(X_k^2 = x_i^2) = Pr(X_k = x_i) = \frac{1}{N})$

$Cov(X_i, X_j) = E[(X_i-\mu_{X_i})(X_j-\mu_{X_j})] = E[X_i X_j - \mu_{X_i} X_j - \mu_{X_j} X_i + \mu_{X_i} \mu_{X_j}]$

$= E[X_i X_j] - E[\mu_{X_i} X_j] - E[\mu_{X_j} X_i] + E[\mu_{X_i} \mu_{X_j}] = E[X_i X_j] - \mu_{X_i}E[X_j] - \mu_{X_j}E[X_i] + \mu_{X_i} \mu_{X_j}$

$= E[X_i X_j] - \mu E[X_j] - \mu E[X_i] + \mu^2 = E[X_i X_j] - \mu^2 -\mu^2 + \mu^2 = E[X_i X_j] - \mu^2$

$(\because \mu_{X_i} = \mu_{X_j} = E[X_i] = E[X_j] = \mu)$ (k번째로 뽑히는 원소의 평균이나 기댓값 모두 $i$, $j$값에 관계 없이 모집단의 평균 $\mu$와 같음)

$Cov(X_i, X_j) = E[X_i X_j] - \mu^2 = \frac{2}{N(N-1)}[\sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j] - \mu^2$

($\because  Pr(X_i X_j = x^* \cdot x^{**}) = Pr(X_i = x^*, X_j = x^{**}) + Pr(X_i = x^{**}, X_j = x^*) = \frac{1}{N(N-1)} + \frac{1}{N(N-1)} = \frac{2}{N(N-1)}$

$E[X_i X_j] = \sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j \cdot Pr(X_i X_j = x^* \cdot x^{**}) = \sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j \cdot \frac{2}{N(N-1)}$)

위의 과정으로 확률변수 $X_k$에 대한 식을 정리하면,

$$E(X_k)= \mu^2,   Var(X_k)=\sigma^2,   Cov(X_i,X_j) = \frac{2}{N(N-1)}[\sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j] - \mu^2$$

으로 정리되었습니다. 여기서 중요한 점은 $X_k$의 기댓값, 평균, 서로 다른 원소끼리의 공분산 모두 $i$, $j$값에 관계없이(몇 번째로 추출되었는지에 전혀 상관없이) 어떤 상수라는 것입니다. 공분산 식이 얼핏 보면 정해지지 않은 값으로 보일 수 있지만, 모집단의 원소는 정해진 상수들이고, 이 모집단의 서로 다른 두 원소를 택해서 곱한 것들을 모두 합친 것에 $\frac{2}{N(N-1)}$라는 상수를 곱하고, 거기서 모집단의 평균인 $\mu$라는 상수의 제곱을 뺀 것이니깐요.

이렇게 정리한 모든 식들에 대해서 정리하면,

**모집단의 평균과 분산에 대한 식으로 $\mu = \frac{\sum_{i=1}^N x_i}{N}$,  $\sigma^2 = \frac{\sum_{k=1}^N {x_k}^2}{N} - \frac{\sum_{k=1}^N {x_k}^2 + 2 \sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j}{N^2}$

**확률변수 $X_k$에 대한 식으로 $E(X_k)= \mu^2,   Var(X_k)=\sigma^2,   Cov(X_i,X_j) = \frac{2}{N(N-1)}[\sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j] - \mu^2$

이렇게 다섯개의 "상수값"을 이용하여, 이제 정말로 $Var(\bar{X})$를 구하겠습니다.

$Var(X_1 + X_2 + X_3 + \cdots + X_n) = \sum_{i=1}^n Var(X_i) + 2 \cdot \sum_{j>i}^n \sum_{i=1}^n {\color{blue}Cov(X_i, X_j)}$

$= n\sigma^2 + 2\cdot {\color{blue}Cov(X_i, X_j)} \cdot {\color{red}\sum_{j>i}^n \sum_{i=1}^n (1)} =  n\sigma^2 + 2 {\color{blue}[\frac{2}{N(N-1)}\sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j - \mu^2]} \cdot {\color{red}{\sum_{j>i}^n \sum_{i=1}^n (1)}}$

$=n\sigma^2 + 2 [\frac{2}{N(N-1)}\sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j - \mu^2] \cdot {\color{red}\frac{n(n-1)}{2}}= n\sigma^2 + n(n-1) \cdot [\frac{2}{N(N-1)}\sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j - \mu^2]$

여기서 $\mu^2 =(\frac{\sum_{i=1}^N x_i}{N})^2 = \frac{(\sum_{i=1}^N x_i)^2}{N^2} = \frac{\sum_{i=1}^N x_i^2 + 2 \cdot \sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j}{N^2}$이므로 $\mu$의 자리에 해당 식을 대입하면,

$n\sigma^2 + n(n-1) \cdot [\frac{2}{N(N-1)}\sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j - \mu^2] = n\sigma^2 + n(n-1) \cdot [\frac{2}{N(N-1)}\sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j - \frac{\sum_{i=1}^N x_i^2 + 2 \cdot \sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j}{N^2}]$

$= n\sigma^2 + n(n-1) \cdot \frac{2N \sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j - (N-1) \sum_{i=1}^N x_i^2 - 2(N-1)\sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j}{N^2(N-1)}$

$= n\sigma^2 + \frac{n(n-1)}{(N-1)} \cdot [\frac{1-N}{N^2} \sum_{i=1}^N x_i^2 + \frac{2 \sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j}{N^2}] = n\sigma^2 + \frac{n(n-1)}{N-1} \cdot {\color{brown}[\frac{\sum_{i=1}^N x_i^2 + 2\sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j}{N^2} - \frac{\sum_{i=1}^N x_i^2}{N}]}$

$= n\sigma^2 + \frac{n(n-1)}{N-1} \cdot {\color{brown}[-\sigma^2]} = n\sigma^2 - n\sigma^2 \cdot \frac{n-1}{N-1} = n\sigma^2 \cdot (1-\frac{n-1}{N-1}) = n\sigma^2 \cdot \frac{N-n}{N-1}$

$$\therefore Var(\bar{X})= Var(\frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}) = \frac{1}{n^2} Var(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{N-n}{N-1} \cdot n\sigma^2 = \frac{N-n}{N-1} \cdot \frac{\sigma^2}{n}$$

🔑4 : 증명 2 : 유한모집단에서 추출한 표본의 평균 $\bar{X}$에 대하여, $Var(\bar{X})= \frac{N-n}{N-1} \frac{\sigma^2}{n}$

위에서 했던 증명 1과 다르게, 확률변수 $X_k$에 대한 식을 정리하지 않고, 바로 $Var(\bar{X})$를 구할 수도 있습니다.

$\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}$ 이고, $E(\bar{X}) = \mu$임을 알고 있고, 분산 $Var(\bar{X}) = E(\bar{X}^2) - E(\bar{X})^2$ 이므로 여기서 $E(\bar{X}^2)$를 구해보죠

Step 1.

$E(\bar{X}^2) = \frac{1}{{}_{N} {\rm C} {}_{n}} \cdot [(\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{n-1} + x_n}{n})^2 + (\frac{x_2 + x_3 + \cdots +  x_{n} + x_{n+1}}{n})^2 + \cdots + (\frac{x_{N-n+1} + x_{N-n+2} + \cdots + x_N}{n})^2]$

위 식의 우변을 살펴보면, 대괄호 []안의 $(\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{n-1} + x_n}{n})^2$ 각 항들은,

N개의 원소로 이루어진 모집단으로 부터 n개의 표본을 추출하는 경우, 모든 ${}_{N} {\rm C} {}_{n}$의 경우에서 나온 원소들에 대한 평균의 제곱 들의 합이라고 볼 수 있습니다.

모집단의 집합을 원소나열법으로 {$x_1, x_2, x_3, \cdots, x_N$}라고 나타냈을 때, n개의 원소를 추출하는  ${}_{N} {\rm C} {}_{n}$개의 경우들 중 한가지 경우인 $x_1, x_2, \cdots x_n$의 경우로 추출했다면,

$x_1, x_2, \cdots x_n$들의 평균 $\bar{X} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots x_n}{n}$이 되고,

$\bar{X}^2 =  (\frac{x_1 + x_2 + \cdots x_n}{n})^2$이 되며, 이렇게 $\bar{X}^2 = (\frac{x_1 + x_2 + \cdots x_n}{n})^2$이 될 확률은

(추출한 원소가 ($x_1$, $x_2$, $\cdots$, $x_n$)인 경우의 수)/(서로 다른 N개 중 n개를 뽑는 경우의 수) = $\frac{1}{{}_{N} {\rm C} {}_{n}}$이 됩니다.

그러므로 $E(\bar{X}^2) = \frac{1}{{}_{N} {\rm C} {}_{n}} \cdot [(\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{n-1} + x_n}{n})^2 + (\frac{x_2 + x_3 + \cdots +  x_{n} + x_{n+1}}{n})^2 + \cdots + (\frac{x_{N-n+1} + x_{N-n+2} + \cdots + x_N}{n})^2]$

이라는 식이 나왔고, 여기서 대괄호 [] 안의 $(\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{n-1} + x_n}{n})^2$ 꼴의 항의 갯수는 총 ${}_{N} {\rm C} {}_{n}$개 입니다.

$$E(\bar{X}^2) = \frac{1}{{}_{N} {\rm C} {}_{n}} \cdot [(\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{n-1} + x_n}{n})^2 + (\frac{x_2 + x_3 + \cdots +  x_{n} + x_{n+1}}{n})^2 + \cdots + (\frac{x_{N-n+1} + x_{N-n+2} + \cdots + x_N}{n})^2]$$

Step 2. 

$E(\bar{X}^2) = \frac{1}{{}_{N} {\rm C} {}_{n}} \cdot [(\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{n-1} + x_n}{n})^2 + (\frac{x_2 + x_3 + \cdots +  x_{n} + x_{n+1}}{n})^2 + \cdots + (\frac{x_{N-n+1} + x_{N-n+2} + \cdots + x_N}{n})^2]$

$=  \frac{1}{{}_{N} {\rm C} {}_{n}} \cdot \frac{1}{n^2} [(x_1 + x_2 + \cdots + x_{n-1} + x_n)^2 + (x_2 + x_3 + \cdots +  x_{n} + x_{n+1})^2 + \cdots + (x_{N-n+1} + x_{N-n+2} + \cdots + x_N)^2]$

-위 식을 전개했을 때, $x_i$의 계수는 ${}_{N-1} {\rm C} {}_{n-1}$입니다.

(${}_{N} {\rm C} {}_{n}$)개의 항을 전개시 $x_i^2$은 $x_i$가 포함된 항으로부터 $x_i^2$ 형태로 나오므로, 위 (${}_{N} {\rm C} {}_{n}$)개 항 중 $x_i$를 포함하는 항의 갯수

=$N$개 중 특정 $x_i$를 포함하여 총 $n$개의 표본을 추출하는 경우의 수 = $x_i$를 뽑아 놓고, 나머지 $(N-1)$개 중 $(n-1)$개를 뽑는 경우의 수

=${}_{N-1} {\rm C} {}_{n-1}$)

-위 식을 전개 했을 때, $x_i x_j$  $(i \neq j)$ 의 계수는 $2 {}_{N-2} {\rm C} {}_{n-2}$입니다.

(${}_{N} {\rm C} {}_{n}$)개의 항을 전개시  $x_i x_j$  $(i \neq j)$는 $x_i$와 $x_j$를 포함하는 항으로 부터 $2 x_i x_j$의 형태로 나오므로,

위 (${}_{N} {\rm C} {}_{n}$)개 항 중 $x_i$와 $x_j$ 두 개를 포함하는 항의 갯수 = ${}_{N-2} {\rm C} {}_{n-2}$

$$\therefore (x_1 + x_2 + \cdots + x_{n-1} + x_n)^2 + (x_2 + x_3 + \cdots +  x_{n} + x_{n+1})^2 + \cdots + (x_{N-n+1} + x_{N-n+2} + \cdots + x_N)^2$$

$$= {}_{N-1} {\rm C} {}_{n-1} \cdot \sum_{i=1}^N x_i^2 + 2 \cdot {}_{N-2} {\rm C} {}_{n-2} \cdot \sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j$$

$$\therefore E(\bar{X}^2) =  \frac{1}{{}_{N} {\rm C} {}_{n}} \cdot \frac{1}{n^2} [{}_{N-1} {\rm C} {}_{n-1} \cdot \sum_{i=1}^N x_i^2 + 2 \cdot {}_{N-2} {\rm C} {}_{n-2} \cdot \sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j ]$$

Step 3.

$Var[\bar{X}] = E[\bar{X}^2]-(E[X])^2$ 식 정리하기

$Var[\bar{X}] = E[\bar{X}^2]-(E[X])^2 = \frac{1}{{}_{N} {\rm C} {}_{n}} \cdot \frac{1}{n^2} [{}_{N-1} {\rm C} {}_{n-1} \cdot \sum_{i=1}^N x_i^2 + 2 \cdot {}_{N-2} {\rm C} {}_{n-2} \cdot \sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j ] - \mu^2$

$= \frac{1}{{}_{N} {\rm C} {}_{n}} \cdot \frac{1}{n^2} [{}_{N-1} {\rm C} {}_{n-1} \cdot \sum_{i=1}^N x_i^2 + 2 \cdot {}_{N-2} {\rm C} {}_{n-2} \cdot \sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j ] - \frac{(\sum_{i=1}^N x_i)^2}{N^2}$

$= \frac{1}{{}_{N} {\rm C} {}_{n}} \cdot \frac{1}{n^2} [{}_{N-1} {\rm C} {}_{n-1} \cdot \sum_{i=1}^N x_i^2 + 2 \cdot {}_{N-2} {\rm C} {}_{n-2} \cdot \sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j ] - \frac{\sum_{i=1}^N x_i^2 + 2 \sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j}{N^2}$

$=\frac{(N-n)!n!}{N!} \cdot \frac{1}{n^2} \cdot \frac{(N-1)!}{(N-n)!(n-1)!}\sum_{i=1}^N x_i^2 + 2 \cdot \frac{(N-n)!n!}{N!} \cdot \frac{1}{n^2} \cdot \frac{(N-2)!}{(N-n)!(n-2)!} \cdot \sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j$

$- \frac{1}{N^2} \cdot \sum_{i=1}^N x_i^2 - \frac{2}{N^2} \cdot \sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j$

$= {\color{blue}\frac{1}{Nn} \cdot \sum_{i=1}^N x_i^2} {\color{red}+ \frac{2(n-1)}{N(N-1)n} \cdot \sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j} {\color{blue}- \frac{1}{N^2} \cdot \sum_{i=1}^N x_i^2} {\color{red}- \frac{2}{N^2} \cdot \sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j}$

$={\color{blue}\frac{N-n}{N^2n} \cdot [\sum_{i=1}^N x_i^2]} + {\color{red}\frac{2N(n-1)-2n(N-1)}{N^2(N-1)n}[\sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j]}$

$=\frac{1}{N^2(N-1)n} \cdot [(N-n)(N-1)\sum_{i=1}^N x_i^2 - 2(N-n)\sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j]$

$=\frac{N-n}{(N-1)n}[\frac{(N-1)\sum_{i=1}^N x_i^2}{N^2}-\frac{2\sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j}{N^2}] =\frac{N-n}{(N-1)n}[\frac{\sum_{i=1}^N x_i^2}{N} - \frac{\sum_{i=1}^N x_i^2 + 2\sum_{j>i}^N \sum_{i=1}^N x_i x_j}{N^2}]$

$=\frac{N-n}{(N-1)n}[\frac{\sum_{i=1}^N x_i^2}{N} - \frac{(\sum_{i=1}^N x_i)^2}{N^2}] = \frac{N-n}{(N-1)n}[\frac{\sum_{i=1}^N x_i^2}{N} - (\frac{\sum_{i=1}^N x_i}{N})^2]$

$= \frac{N-n}{(N-1)n} \cdot \sigma^2 = \frac{N-n}{N-1} \cdot \frac{\sigma^2}{n}$

$$\therefore Var[\bar{X}] = \frac{N-n}{N-1} \cdot \frac{\sigma^2}{n}$$

이렇게 증명을 마치겠습니다.

유한 수정 계수는 모집단의 크기(N)에 비해 추출되는 표본의 크기(n)가 무시할 수 없을 정도로 클 때 표본분산 앞에 붙여줌으로써 표본평균 추정의 정밀도를 높이는 데에 사용됩니다.

$\frac{N-n}{N-1} \leq 1$이므로, 유한 수정 계수를 표본 평균의 분산 $\frac{\sigma^2}{n}$앞에 곱해주면, 분산의 크기가 줄어들게 되므로, 동일 신뢰도 내에서 더 정밀한(구간의 크기가 더 작아지는) 신뢰구간을 얻을 수 있습니다.

-만약 모집단의 크기 $N=10000$이고, 추출되는 표본의 크기 $n=20$이라면, 유한 수정 계수의 값은 $\frac{10000-20}{10000-1} \approx 0.9980$으로, 표본 평균의 신뢰구간을 줄이는 데에 큰 기여를 하지 못하기 때문에 이런 경우에는 유한 수정 계수는 생략되기도 합니다.

-반면에 모집단의 크기 $N=10000$이고, 추출되는 표본의 크기 $n=2000$이라면, 유한 수정 계수의 값은 $\frac{10000-2000}{10000-1} \approx 0.8000$으로, 표본 평균의 신뢰구간의 크기가 꽤 고려할 만한 수준으로 줄어들기 때문에 이러한 경우에 유한 수정 계수를 고려하여 표본평균의 분산을 계산합니다.

일반적으로 모집단의 크기 대비 표본의 크기가 5% 이상일 때($\frac{n}{N} \geq 0.05$) 유한 수정 계수를 고려한 표본평균의 분산을 이용합니다.

사실 학부 과정에서 큰 비중으로 다루어지는 주제가 아니기에 제 교수님은 그냥 간단히 언급만 하고 넘어가셔서, 제 스스로 호기심이 들어서 증명해놓았던 것을 정리해서 올립니다.

충분히 고등학교 과정에서 배운 확률과 이항정리 개념만 가지고도 증명이 가능하기에(물론 식 정리하기가 쉽지만은 않지만요🥲), 가볍게 생각해본다는 느낌으로 한 번 봐주시면 좋을 것 같습니다.

이상 포스팅을 마치겠습니다.

2018년도 7월 교육청 모의고사 수학 가형 21번 문항입니다.

이 문제는 좀 쉬운 편에 속한다고 생각합니다 :) (상대적으로)

$\angle{POA} = \theta$ 일 때, $\angle{PQA} = \frac{\theta}{2}$라는 것을 원주각의 성질을 통해서 알게 된다면, 도형 길이들을 표현 하는 것이 꽤 수월하고, 함수의 극한 구하는 과정 식 또한 간단합니다.

아무튼 풀이 과정의 목차를 말씀드리자면,

🔑1 : 점 P, Q, R의 좌표를 $\theta$에 관해서 표현하고, 문제 풀이상 필요한 몇 개 각도 표현하기.

🔑2 : $S(\theta), T(\theta)$식을 $\theta$에 관한 식으로 고치기

🔑3 : 함수의 극한 식 $\lim_{\theta \to 0+} \frac{\theta^2 S(\theta)}{T(\theta)}$의 극한값 구하기.

시작하겠습니다 :)

🔑1

점 P, Q, R의 좌표를 $\theta$에 관해서 표현하고, 문제 풀이상 필요한 몇 개 각도 표현하기.

원주각의 성질, 동위각의 성질을 이용하여 $\angle{PQN} = \angle{NQR} = \frac{\theta}{2}$임을 밝혀내는 것이 중요합니다.

🔑2

$S(\theta), T(\theta)$식을 $\theta$에 관한 식으로 고치기

다음과 같은 과정으로

$$S(\theta) = 2 cos^3(\theta)cos(\theta)sin(\frac{\theta}{2}), T(\theta) = 2 cos(\theta) sin(\theta) sin^2(\frac{\theta}{2})$$

임이 밝혀졌습니다.

🔑3

함수의 극한 식 $\lim_{\theta \to 0+} \frac{\theta^2 S(\theta)}{T(\theta)}$의 극한값 구하기.

$$\therefore \lim_{\theta \to 0+} \frac{\theta^2 S(\theta)}{T(\theta)} = 2$$

별다른 첨언이 굳이 필요가 없는 문제라 포스팅이 좀 간단하네요😅

이상으로 풀이를 마치겠습니다.

18학년도 6월 모의고사 수학 가형 21번 문제입니다.

이 문제 같은 경우에는 4차 다항식 $f(x)$와 3차 다항식 $g(x)$를 최고차항 계수가 1이라는 것만 보고 $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$, $x^3 + ax^2 + bx + c$의 형태로 두고 문제를 풀면 $F(x)$를 미분하는 것은 할만 하더라도, $G(x)$를 미분한 뒤 $\frac{F'(x)}{G'(x)}$를 표현해 보면, 식이 꽤 복잡합니다.(물론 이렇게 다항식을 두고 문제를 풀 수도 있지만, 이렇게 문제를 풀면 계산이 복잡해져서요... 만약 다른 방법이 떠오르지 않는다면 이렇게 두고서라도 풀어야겠지요🥲)

그래서 $F(x) = ln\left| f(x) \right|$ 이 식을 양변 미분할 때, 만약 $f(x)$가 $(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)(x-\alpha_4)$와 같은 형태로 인수분해가 된다면, $F(x) = ln\left| x - \alpha_1 \right| + ln\left| x - \alpha_2 \right| + ln\left| x - \alpha_3 \right| + ln\left| x - \alpha_4 \right|$가 되고, $F'(x) = \frac{1}{x-\alpha_1} + \frac{1}{x-\alpha_2} + \frac{1}{x-\alpha_3} + \frac{1}{x-\alpha_4}$의 형태로 식을 좀 더 보기 좋게 표현할 수 있겠다는 생각을 하고, 이렇게 $f(x)$와 $g(x)$가 어떠한 형태로 인수분해되는 지에 따라서 경우를 나누어 문제를 푸셔야 훨씬 편하고 빠르게 풀립니다.

그래서 다음과 같은 문제 풀이 과정으로 문제를 풀려 합니다.

🔑1 : 4차 다항식 $f(x)$가 인수분해 되는 형태를 나누기(3가지) / 3차 다항식 $g(x)$가 인수분해 되는 형태를 나누기(2가지)

🔑2 : $\lim_{x \to 1}(x-1)F'(x)=3$을 만족시키는 다항식 $f(x)$ 찾기

🔑3 :  $\lim_{x \to 0}\frac{F'(x)}{G'(x)}=\frac{1}{4}$를 만족시키는 다항식 $g(x)$ 찾기

그러면 문제 풀이 시작하겠습니다!

🔑1

4차 다항식 $f(x)$가 인수분해 되는 형태를 나누기(3가지) / 3차 다항식 $g(x)$가 인수분해 되는 형태를 나누기(2가지)

1. $f(x)$의 경우 나누기

먼저 4차식 $f(x)$는 인수분해되는 형태가 크게 다음 3가지의 경우로 나눌 수 있습니다.

$i)$ $f(x) = x^4+ax^3+bx^2+cx+d$

$ii)$ $f(x) = (x^2+ax+b)(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)$

$iii)$ $f(x) = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)(x-\alpha_4)$

(3가지 경우 내에서 $a,b,c,d$와 $\alpha$값은 모두 실수이며, $x^2+ax+b$와 $x^2+cx+d$는 모두 실계수 범위 내에서 인수분해 되지 않는 다항식)

이렇게 나눌 수 있는 이유를 설명하자면,

먼저 4차함수 $f(x)$는 x축과의 교점을 가지지 않을 때, 즉 $f(x)=0$을 만족시키는 $x$가 실수 내에 존재 하지 않을 때 경우 $i$이고,

$f(x)=0$의 실근 $\alpha_1$ 존재할 때

$f(x)=(x-\alpha_1)(x^3+kx^2+lx+m)$형태로 인수분해 되고,

삼차식 $(x^3+kx^2+lx+m)$은 반드시 실계수인 일차식을 인수로 가지게 되므로 $(x^3 + kx^2 + lx +m) = (x-\alpha_2)(x^2 + ax + b)$의 형태로 인수분해가 가능합니다.

(삼차함수 x^3+kx^2+lx+m는 반드시 x축과의 교점을 적어도 한 개 가지므로)

그러므로 $f(x)=0$의 실근이 존재한다면, $f(x)=(x^2+ax+b)(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)$의 형태로 인수분해가 가능하고,

(경우 $ii$) : $x^2+ax+b$가 실계수 범위 내에서 인수분해가 불가능할 때 $f(x) = (x^2+ax+b)(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)$

(경우 $iii$) : $x^2+ax+b$가 실계수 범위 내에서 인수분해가 가능할 때 $f(x) = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)(x-\alpha_4)$입니다.

-경우 나누는 과정이 글로 된 설명만으로 이해하시기 힘들 것 같기에, 다음과 같이 논리 과정에 대한 약도를 그리면,

다음과 같은 과정으로, $f(x)$가 인수분해 되는 경우를 다음과 같이 3가지로 나누었습니다.

$i)$ $f(x) = x^4+ax^3+bx^2+cx+d$

$ii)$ $f(x) = (x^2+ax+b)(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)$

$iii)$ $f(x) = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)(x-\alpha_4)$

(3가지 경우 내에서 $a,b,c,d$와 $\alpha$값은 모두 실수이며, $x^2+ax+b$와 $x^2+cx+d$는 모두 실계수 범위 내에서 인수분해 되지 않는 다항식)

2. $g(x)$의 경우 나누기(이건 쉽죠?)

$i)$ $g(x) = (x^2+ax+b)(x-\beta_1)$

$ii)$ $g(x) = (x-\beta_1)(x-\beta_2)(x-\beta_3)$

(2가지 경우 내에서 $a,b,c,$와 $\beta$값은 모두 실수이며, $x^2+ax+b$는 실계수 범위 내에서 인수분해 되지 않는 다항식)

경우 $i$는 삼차함수 $f(x)=0$의 실근이 1개인 경우이고, 경우 $ii$는 $f(x)=0$의 실근이 3개일 때 이겠죠(중근, 삼중근 가능)

(참고 사항 1 : 이렇게 $f(x)$와 $g(x)$의 경우를 나누었을 때,

"$x^2+ax+b$, $x^2+cx+d$ 모두 실계수 범위 내에서 인수분해가 되지 않는 다항식이다." 라는 말의 의미는

"이차방정식 $x^2+ax+b=0$ 과 $x^2+cx+d=0$의 실근이 모두 존재하지 않는다"는 말의 의미이고, 이는 곧

"어떤 실수 x를 넣더라도 $x^2+ax+b$ 와 $x^2+cx+d$의 식의 값은 절대 0이 될 수 없다"는 말의 의미와 같습니다.)

(참고 사항 2: 사실 $f(x)=0$의 실근이 존재하지 않더라도, $f(x)$는 반드시 실수 $a,b,c,d$에 대하여

$f(x)= (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$의 형태로 반드시 인수분해가 가능합니다.(물론 $x^2+ax+b$, $x^2+cx+d$는 더이상 인수분해가 안됩니다)

이에 대한 증명을 쓰자니 너무 문제 주제와 벗어나는 것 같아서 설명은 생략하지만, 수II 에서 4차함수와 근과의 관계에 대해서 충분히 공부를 하셨다면 다들 납득하실 내용이고, 납득이 잘 되지 않는 분들을 위하여  https://jwmath.tistory.com/71

링크를 걸어두니 참고해주시면 됩니다. 계수가 실수인 4차식이 계수가 실수인 두 이차식의 곱의 형태로 변환되는 과정에 대해서 쓰여 있습니다.)

자 이제 경우를 나누었으니 $f(x)$하고 $g(x)$를 구하러 가죠 :)

🔑2

$\lim_{x \to 1}(x-1)F'(x)=3$을 만족시키는 다항식 $f(x)$ 찾기

$i)$ $f(x) = x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ 형태일 때,

그러므로 $\lim_{x \to 1}(x-1)F'(x)=3$을 만족시키는 $f(x)$는 존재하지 않습니다.

$ii)$ $f(x) = (x^2+ax+b)(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)$ 형태일 때,

그러므로 이 경우에도 $\lim_{x \to 1}(x-1)F'(x)=3$을 만족시키는 $f(x)$는 존재하지 않습니다.

$iii)$ $f(x) = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)(x-\alpha_4)$ 형태일 때,

$$\therefore   f(x)= x(x-1)^3$$

🔑3

$\lim_{x \to 0}\frac{F'(x)}{G'(x)}=\frac{1}{4}$를 만족시키는 다항식 $g(x)$ 찾기

$g(x)$ 구하기에 앞서 $F'(x)$와 $G'(x)$를 정리해두면 다음과 같습니다.

$i)$ $g(x) = (x^2+ax+b)(x-\beta_1)$형태일 때,

그러므로 $\lim_{x \to 0}\frac{F'(x)}{G'(x)}=\frac{1}{4}$을 만족시키는 $g(x)$는 존재하지 않습니다.

$ii)$ $g(x) = (x-\beta_1)(x-\beta_2)(x-\beta_3)$형태일 때,

다음과 같은 과정으로 $g(x) = x^3$이라는 결과가 나왔습니다.

$$\therefore f(x)=x(x-1)^3, g(x) = x^3, f(3) + g(3) = 3  \times 2^3 + 3^3 = 24 + 27 = 51$$

이상으로 문제 풀이를 마치겠습니다.!

18학년도 수능 문제입니다.

문제를 보면 $x$도 보이고, $t$도 보이고 $k$도 보여서 순간 어지러웠지만..

정신을 한데 모아 $t$에 관한 문제로 바라보아야합니다😂

아무튼 문제 풀이를 시작할게요.

풀이 과정 목차는 다음과 같습니다.

🔑1 : $f(x)$와, $[k,k+8]$내에서 의 $cos(\pi x)$의 그래프가 어떻게 그려지는지를 생각하며, $t$에 관한 함수 $g(t)$에 대한 감 가져보기

🔑2 : $t$의 위치에 따라서 식의 형태가 달라지는 $g(t) = \int_{k}^{k+8} f(x)cos(\pi x) dx$의 식 정리해보기

           (여기가 좀 많이 힘듭니다,, 나머지는 쉬워요!)

🔑3 : $g(t)$의 그래프를 그리면서 $g(t)$의 극점 파악하기

🔑4 : 문제 답 구하기

그러면 시작하겠습니다!!

🔑1

$f(x)$와, $[k,k+8]$내에서 의 $cos(\pi x)$의 그래프가 어떻게 그려지는지를 생각하며, $t$에 관한 함수 $g(t)$에 대한 감 가져보기

-먼저 함수 $f(x)$의 그래프를 그려보면,

다음과 같이 그려짐을 알 수 있습니다. 여기서 기억해야 할 점은 $f(x)$는 길이가 2인 구간에서만 0이 아닌 값을 가지며, 그 나머지에서는 0의 값을 가진다는 점입니다.

-다음으로, 어떤 홀수 $k$에 대하여 폐구간 $[k,k+8]$ 내에서 $cos(\pi x)$의 그래프를 그려보면,

홀수 $k$에 대하여 $cos(k \pi)$의 값은 -1을 가지게 되므로, $x = k, k+2, k+4, k+6$에서 $cos(\pi x)$의 값은 -1, $x = k+1, k+3, k+5, k+7$에서는 $cos(\pi x)$의 값은 1을 가지게 되므로, $cos(\pi x)$의 그래프는

다음과 같이 그려짐을 알 수 있습니다.

-이제 $g(t) = \int_{k}^{k+8} f(x)cos(\pi x) dx$ 가 어떠한 형태로 $t$에 관한 함수를 취하게 될지를 생각해 보겠습니다.

구간의 길이가 2인 개구간 $(t-1,t+1)$에서만 0의 값을 가지지 않는 함수 $f(x)$와 함수 $cos(\pi x)$를 곱한 함수를,

어떤 홀수 k에 대하여 폐구간 $[k,k+8]$ 내에서 적분하는 식이 $g(t) = \int_{k}^{k+8} f(x)cos(\pi x) dx$입니다. 

이 정적분 식이 어떻게 $t$에 관한 함수로 표현되는지에 대해서 생각해보면, 폐구간 $[k,k+8]$내에서 $t$가 어느 위치에 있느냐에 따라서 함수의 정적분 값이 달라지기 때문입니다. 

따라서 $t$의 위치에 따라서 $g(t) = \int_{k}^{k+8} f(x)cos(\pi x) dx$를 어떻게 정리할 수 있을지를 생각해 보셔야 됩니다.

🔑2

$t$의 위치에 따라서 식의 형태가 달라지는 $g(t) = \int_{k}^{k+8} f(x)cos(\pi x) dx$의 식 정리해보기

-그래서 경우를 나누어 보자면,

길이가 2인 $[t-1,t+1]$구간이 길이가 8인 [k,k+8]과 겹쳐지는 곳이 존재하지 않는다면, $[k,k+8]$내에서 함수 $f(x)$의 값은 무조건 0의 값을 취하기에, $g(t) = \int_{k}^{k+8} f(x)cos(\pi x) dx$의 값은 반드시 0을 취하게 되고,

$[t-1,t+1]$구간이 $[k,k+8]$구간과 겹칠 때에만 0이 아닌 값을 취할 가능성이 있다는 것을 생각하여,

t의 위치에 따라서 다음과 같이 $i, ii, iii, iv, v$의 다섯가지 경우로 나누어 식을 정리할 수 있음을 알 수 있습니다.

i) $f(x)$의 기울기가 -1인 부분의 일부만 $[k,k+8]$에 포함될 때

ii) $f(x)$의 기울기가 -1인 부분과 기울기가 1인 부분의 일부가 $[k,k+8]$에 포함될 때

iii) $f(x)$의 기울기가 -1인 부분, 1인 부분 모두 $[k,k+8]$에 포함될 때

iv) $f(x)$의 기울기가 1인 부분과 기울기가 -1인 부분의 일부가 $[k,k+8]$에 포함될 때

v) $f(x)$의 기울기가 1인 부분의 일부만 $[k,k+8]$에 포함될 때

왜 함수 $f(x)$의 일부가 $[k,k+8]$에 포함될 때, $f(x)$의 전체가 $[k,k+8]$에 포함될 때 두가지로 경우를 나누지 않고, 더 세분화 시켜서 경우를 나누었는지에 대해서 묻는다면, $f(x)$의 기울기가 1인 부분과 -1인 부분에서의 함수 $f(x)$의 식이

$f(x) = \begin{cases} x-t+1 & (t-1 \leq x \leq t) \\ -x+t+1 & (t \leq x \leq t+1) \\ 0 & (else) \end{cases}$의 형태로 달라지기 때문에,

$\int_{k}^{k+8} f(x)cos(\pi x) dx$의 식이 절댓값을 포함하지 않은 식이 되기 위해서는 다음과 같이 경우를 좀 더 세분화할 필요가 있기 때문입니다.

-따라서 다음 5가지 경우에 따라 $g(t) = \int_{k}^{k+8} f(x)cos(\pi x) dx$의 식을 정리하면 다음과 같습니다.(적분 구간이 어떻게 되는지 유의하면서 보셔야됩니다!)

-위 식들을 적분하기 위해 $\int (x-t+1)cos(\pi x) dx$와 $\int (-x+t+1)cos(\pi x) dx$의 부정적분 식을 정리해서 풀면 적분하기가 되게 노가답니다. 노가다 과정을 간단히 보여드리자면...

-그래서 $g(t) = \int_{k}^{k+8} f(x)cos(\pi x) dx$를 통째로 정리해서 적분하면 좀 더 편하게 적분할 수 있습니다.

아무튼 이렇게 힘든 적분을 끝내고... 이제 $g(t)$의 식을 정리하면..

$$g(t)= \begin{cases} \frac{1}{\pi ^2} cos(\pi t) - \frac{1}{\pi^2} & (k-1 \leq t < k) \\ \frac{3}{\pi^2} cos(\pi t) + \frac{1}{\pi ^2} & (k \leq t < k+1) \\ \frac{4}{\pi ^2} cos(\pi t) & (k+1 \leq t < k+7) \\ \frac{3}{\pi} cos(\pi t) + \frac{1}{\pi ^2} & (k+7 \leq t < k+8) \\ \frac{1}{\pi ^2} cos(\pi t) - \frac{1}{\pi^2} & (k+8 \leq t < k+9) \\ 0 & (else) \end{cases}$$

🔑3

$g(t)$의 그래프를 그리면서 $g(t)$의 극점 파악하기

(🔑2 파트가 좀 많이 힘드셨을텐데 나머지는 쉽게 쉽게 풀립니다ㅎㅎ)

$g(t)= \begin{cases} \frac{1}{\pi ^2} cos(\pi t) - \frac{1}{\pi^2} & (k-1 \leq t < k) \\ \frac{3}{\pi^2} cos(\pi t) + \frac{1}{\pi ^2} & (k \leq t < k+1) \\ \frac{4}{\pi ^2} cos(\pi t) & (k+1 \leq t < k+7) \\ \frac{3}{\pi} cos(\pi t) + \frac{1}{\pi ^2} & (k+7 \leq t < k+8) \\ \frac{1}{\pi ^2} cos(\pi t) - \frac{1}{\pi^2} & (k+8 \leq t < k+9) \\ 0 & (else) \end{cases}$

에 따라 함수 $g(t)$를 $(t,y)$평면에 그려보면 다음과 같이 그려집니다.

$g(t)$의 그래프를 그렸으면 이제 문제 답 구하는 과정은 굉장히 쉽습니다ㅎㅎ.

🔑4

문제 답 구하기

$g(t)$가 $t=\alpha$에서 극소이고, $g(\alpha)<0$ 인 $\alpha$들을 그래프 상에 표시하면 아래 그림에서 빨간색 x 표시를 해둔 곳에서 나타납니다.

따라서 $\alpha$ 값들은 $k, k+2, k+4, k+6, k+8$이며 이들의 합이 45이므로

$k + (k+2) + (k+4) + (k+6) + (k+8) = 5(k+4) = 45$            $k + 4 = 9$

$$\therefore k =5$$

$\alpha_i = k, k+2, k+4, k+6, k+8$에 따라

$g(\alpha_i) = - \frac{2}{\pi ^2}, - \frac{4}{\pi ^2}, - \frac{4}{\pi ^2}, - \frac{4}{\pi ^2}, - \frac{2}{\pi ^2}$이므로

$\therefore \sum_{i=1}^m g(\alpha_i) = - \frac{2}{\pi^2} - \frac{4}{\pi^2} - \frac{4}{\pi^2} - \frac{4}{\pi^2} - \frac{2}{\pi^2} = - \frac{16}{\pi^2}$

$$k-\pi^2 \sum_{i=1}^m g(\alpha_i) = 5 - \pi^2(- \frac{16}{\pi^2}) = 21$$

이렇게 풀이를 마칠게요😉

사실 이 문제는 🔑2 에서 적분하는 과정이 너무 빡세서 어느 정도 직관에 의존하여 $g(t)$가 $t=\alpha$에서 극소이면서 $g(\alpha)<0$인 $\alpha$들을 찾아낼 수 있습니다. 그 과정에 대해서도 써볼까 했지만,, 글이 너무 길어지기도 하고 문자 언어로만 표현하기에는 한계가 있는 탓에, 관심이 있으신 분들은 풀이 영상을 찾아보시면, 굳이 $g(t)$ 함수 그래프를 그리지 않더라도 구할 수 있다는 것을 알 수 있으실 겁니다.(사실 🔑2의 두 번째 방법으로 적분하면 충분히 할만하지만,, 이렇게 적분하지 않고 첫 번째 방법으로 적분하는 것은 너무 오래걸려서, 시험 때는 시간 부족으로 못할 수도 있겠다고 생각이 드네요🥲)

2014학년도 수학 가형 29번 기하 문제입니다.

제가 봤던 수능에서 나온 문제인데 개인적으로 30번보다 여기서 시간을 많이 잡아먹었던 기억이 있네요..😂

$\overrightarrow{PQ}$벡터를 $(a, b, c)$ 문자로 설정하고 풀려고 하니깐 답도 없어서 다른 방향으로 풀어야겠다고 중간에 풀이 방향을 바꾸는 바람에.. 다른 문제 검산할 시간이 없어서 힘들었었어요..

아무튼 tmi는 이쯤 하고, 풀이를 시작할게요ㅎㅎ

문제 풀이 편의상 $y=4$ 평면을 $\alpha$평면, $y + \sqrt{3} z + 8 = 0$ 평면을 $\beta$평면이라고 칭하겠습니다.

다음과 같은 과정으로 문제 풀이를 진행할게요.

🔑1 : $2 \left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 - \left| \overrightarrow{P_1 Q_1} \right|^2 - \left| \overrightarrow{P_2 Q_2} \right|^2$ 를 $(\left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 - \left| \overrightarrow{P_1 Q_1} \right|^2) + ( \left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 - \left| \overrightarrow{P_2 Q_2} \right|^2)$로 바꾸면서 식의 의미 알아내기

🔑2 : 공간에서 구 $x^2 + y^2 + z^2 = 4$와 $\alpha$평면, $\beta$평면의 위치 관계 알아보기.

🔑3 : $\left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 cos^2(\theta_1) +  \left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 cos^2(\theta_2)$의 값은, $\overrightarrow{PQ}$가 $\gamma$평면 상에 있을때 최대가 됨을 밝히기.

(2가지 설명)

🔑4 : $2 \left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 - \left| \overrightarrow{P_1 Q_1} \right|^2 - \left| \overrightarrow{P_2 Q_2} \right|^2$의 최댓값(문제 정답) 구하기

그러면 시작하겠습니다!

🔑1

$2 \left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 - \left| \overrightarrow{P_1 Q_1} \right|^2 - \left| \overrightarrow{P_2 Q_2} \right|^2$ 를 $(\left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 - \left| \overrightarrow{P_1 Q_1} \right|^2) + ( \left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 - \left| \overrightarrow{P_2 Q_2} \right|^2)$로 바꾸면서 식의 의미 알아내기

$2 \left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 - \left| \overrightarrow{P_1 Q_1} \right|^2 - \left| \overrightarrow{P_2 Q_2} \right|^2$ 를 $(\left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 - \left| \overrightarrow{P_1 Q_1} \right|^2) + ( \left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 - \left| \overrightarrow{P_2 Q_2} \right|^2)$ 식으로 바꾸면,

식의 구성이 $(\left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 - \left| \overrightarrow{P_1 Q_1} \right|^2)$과 $( \left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 - \left| \overrightarrow{P_2 Q_2} \right|^2)$ 두가지 성분의 합임을 알 수 있습니다.

각각이 의미하는 바를 알기 위해, $(\left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 - \left| \overrightarrow{P_1 Q_1} \right|^2)$ 부터 의미를 알아보죠.

$\overrightarrow{PQ}$를 $\alpha$평면에 정사영 한 것이 $\overrightarrow{P_1 Q_1}$이 되므로,

다음과 같은 관계로 $\left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 - \left| \overrightarrow{P_1 Q_1} \right|^2$이 $\left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 cos^2(\theta_1)$로 변함을 알 수 있습니다.

같은 방법으로 $\overrightarrow{PQ}$를 $\beta$평면에 정사영 한 것이 $\overrightarrow{P_2 Q_2}$ 이고, $\overrightarrow{PQ}$가 $\beta$평면의 법선벡터와 이루는 각을 $\theta_2$라고 한다면,

 $\left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 - \left| \overrightarrow{P_2 Q_2} \right|^2 = \left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 cos^2(\theta_2)$임을 알 수 있습니다.

$$\therefore 2 \left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 - \left| \overrightarrow{P_1 Q_1} \right|^2 - \left| \overrightarrow{P_2 Q_2} \right|^2 =  (\left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 - \left| \overrightarrow{P_1 Q_1} \right|^2) + ( \left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 - \left| \overrightarrow{P_2 Q_2} \right|^2)$$

$$= \left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 cos^2(\theta_1) +  \left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 cos^2(\theta_2)$$

이렇게 식이 바뀌었습니다! $\left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 cos^2(\theta_1) +  \left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 cos^2(\theta_2)$의 최댓값을 구하는 것으로 바뀌었는데, 지금까지의 정보로 이 식의 최댓값을 바로 구할 수는 없겠죠?ㅎㅎ 이렇게 식이 바뀌고 나니 "아! 이 문제는 이제 삼각함수 합성의 문제구나. 그러면 $\theta_1$과 $\theta_2$를 한 문자로 줄여야 되겠구나. 그러려면 $\theta_1$과 $\theta_2$와의 관계를 밝혀내야겠네."라는 생각을 가지게 되었습니다.

이쯤 하고 다음 단계로 넘어가죠.

🔑2

공간에서 구 $x^2 + y^2 + z^2 = 4$와 $\alpha$평면, $\beta$평면의 위치 관계 알아보기.

이 부분은 사실 기하를 배우신 분이라면 누구나 쉽게 할 수 있겠죠?

구의 중심으로부터 $\alpha$평면, $\beta$평면 까지의 수직 거리가 4로 같고, 두 평면이 이루는 각의 크기가 $\frac{\pi}{3}$임을 이용하여, 구와 평면들의 위치관계를 다음과 같이 그릴 수 있습니다.

그리고, 문제 풀이 과정 상 반드시 필요한 평면인, $\gamma : x = 0$평면 하나를 추가하겠습니다.

$\gamma$평면의 법선벡터 $(1,0,0)$ 은

$\alpha$, $\beta$평면의 법선벡터인 $(0,1,0)$, $(0,1,\sqrt{3})$과 내적값이 모두 0이므로 

$\gamma$평면은 $\alpha$, $\beta$평면과 모두 수직을 이룹니다. 따라서 $\gamma$평면을 추가한 그림을 그리면,

다음 그림과 같고, $\gamma$평면과 $\alpha$, $\beta$평면, 그리고 구 $x^2 + y^2 + z^2 = 4$가 만나서 생기는 저 하늘색 선을 $\gamma$평면에서 바라본다면,

이렇게 되겠죠!

🔑3

$\left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 cos^2(\theta_1) +  \left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 cos^2(\theta_2)$의 값은,

$\overrightarrow{PQ}$가 $\gamma$평면 상에 있을때 최대가 됨을 밝히기.

(2가지 설명 방법으로 보일 예정입니다)

(tmi : 사실 이 부분에 대한 이해만 확실하다면, 나머지 문제를 푸는 과정이야 $\left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 cos^2(\theta_1) +  \left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 cos^2(\theta_2)$ 식을 삼각함수 공식을 이용하여 최대값을 구하는 것이라 매우 간단한데, 이 🔑3의 이해를 돕기 위해서 제가 그림을 정말 많이 그렸어요,,, 설명에 어려움이 많아 애를 많이 먹었네요🥲)

먼저 $\left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 cos^2(\theta_1) +  \left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 cos^2(\theta_2) =  \left| \overrightarrow{PQ} \right|^2(cos^2(\theta_1)+cos^2(\theta_2))$의 식이 최대가 되려면, $\left| \overrightarrow{PQ} \right| = 4$ 여야 하겠죠? 따라서,

$$\left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 cos^2(\theta_1) +  \left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 cos^2(\theta_2) =  \left| \overrightarrow{PQ} \right|^2(cos^2(\theta_1)+cos^2(\theta_2)) = 16(cos^2(\theta_1)+cos^2(\theta_2))$$

가 되고, 여기서 $\theta_1$은 $\alpha$평면의 "법선벡터"와 이루는 각이고, $\theta_2$은 $\beta$평면의 "법선벡터"와 이루는 각이라는 것을 기억해두셔야 합니다!

이 쯤까지 식 정리를 해두고, 이제 본격적으로 $\left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 cos^2(\theta_1) +  \left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 cos^2(\theta_2)$의 값은, $\overrightarrow{PQ}$가 $\gamma$평면 상에 있을때 최대가 됨을 설명하겠습니다.

◈설명 1. 수식을 이용하여 설명

$\overrightarrow{PQ} = (a,b,c)$로 두었을때,

$a, b, c$는 등식 $a^2 + b^2 + c^2 = 16$을 만족하는 모든 실수의 순서쌍 $(a,b,c)$입니다.

이제 $\overrightarrow{PQ} = (a,b,c)$를 이용하여 $16(cos^2(\theta_1)+cos^2(\theta_2))$의 식을 $b,c$에 관한 식으로 고치겠습니다.

다음과 같은 과정으로,

$$16(cos^2(\theta_1)+cos^2(\theta_2)) = \frac{5b^2 + 2\sqrt{3} bc + 3c^2}{4}$$ 의 식을 얻었습니다.

등식 $a^2 + b^2 + c^2 = 16$을 만족하는 모든 실수의 순서쌍 $(a,b,c)$ 에 대하여, 다음 식이 최대가 되기 위해서는, 두가지 조건이 만족되어야 합니다.

**  $a = 0$이어야만 합니다.(등식  $a^2 + b^2 + c^2 = 16$에서 실수 $a$의 절댓값이 늘어날 수록, $b$와 $c$의 절댓값이 작아지기 때문에)

**  $bc > 0$ 즉, $b$와 $c$의 부호가 같음.

다음과 같은 이유로 $a=0$ 즉, $\overrightarrow{PQ} = (a,b,c)$는 그 $x$성분이 0이어야 합니다. 다른 의미로,  $\overrightarrow{PQ}$는 $yz$평면 = $\gamma$평면 상에 있어야 한다는 것을 알 수 있습니다. 또한 $b$와 $c$의 부호가 같으므로,    $\overrightarrow{PQ}$는 $yz$평면 상의 제 1사분면 혹은 제 3사분면을 향해야 함을 알 수 있습니다. 이러한 조건을 고려하면  $\overrightarrow{PQ}$는 아래 그림과 같은 형태로 공간 상에 존재해야 합니다.

◈설명 2. (이 설명이 좀 더 정확한 설명입니다)

이번엔 $\overrightarrow{PQ}$ 벡터의 시점과 종점 중 한 점을 $\alpha$평면과 $\beta$평면의 교선 위로 평행이동 시킴으로써 생각해보겠습니다.

위 그림을 보았을 때, $\gamma$평면 위의 길이가 4인 임의의 선분 $\overline{AB_1}$라고 하겠습니다.

$B_1$에서 $\alpha$, $\beta$ 평면에 내린 수선의 발을 $B_2$, $B_3$라고 할게요.

그리고 이 선분 $\overline{AB_1}$를 기울였을 때 선분을 $\overline{AC_1}$(얘도 길이가 4겠죠)

$C_1$에서 $\alpha$, $\beta$ 평면에 내린 수선의 발을 $C_2$, $C_3$라고 할게요.

이렇게 그림을 그려놓고 보면 $\gamma$평면 위의 $\overline{AB}$를 양쪽으로 기울였을 때,

(기울임을 엄밀히 정의 하자면, $\alpha$, $\beta$ 평면의 교선을 지나며 $\alpha$평면 과 이루는 각의 크기가 임의의 값 k인 $\delta$ 평면 위의 길이가 4인 선분들 중, $\alpha$, $\beta$ 평면의 교선과 수직인 선분  $\overline{AB_1}$와, 그렇지 않은 $\overline{AC_1}$에 대하여,)

$\overline{B_1 B_2} > \overline{C_1 C_2}$      ,       $\overline{B_1 B_3} > \overline{C_1 C_3}$가 반드시 성립함을 알 수 있습니다.

즉, $\gamma$평면 위의 $\overline{AB}$를 기울이면 기울일수록 $\overline{B_1 B_2}$와 $\overline{B_1 B_3}$의 길이가 점점 짧아지기 때문에,

$\overline{B_1 B_2}$,$\overline{B_1 B_3}$가 길이가 최대가 되기 위해서 $\overline{AB}$는 $\gamma$평면 상에 놓여 있어야 된다는 뜻입니다.

(왜냐하면 $\overline{AB_1}$을 기울이게 될 수록, 이 선분과  $\alpha$평면, $\beta$ 평면과 이루는 각의 크기가 점점 커지기 때문입니다.

$\overline{AB_1}$가 $\gamma$평면 상에 있을 때 $\theta_1 + \theta_2 = \frac{2}{3} \pi$이고,

$\overline{AB_1}$이 점점 기울어져 $\alpha$, $\beta$ 평면의 교선상에 놓이게 될 때 $\theta_1 + \theta_2 =  \pi$가 됩니다.)

이 점 $A$, $B$를 각각 $P$, $Q$로 대체 시켜 생각 해보면,

 $\overline{B_1 B_3} = \left| \overrightarrow{PQ} \right| cos(\theta_1)$,

 $\overline{B_1 B_2} = \left| \overrightarrow{PQ} \right| cos(\theta_2)$임을 알 수 있고,

이와 같은 과정으로 $\left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 cos^2(\theta_1) +  \left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 cos^2(\theta_2)$가 최대가 되기 위해서 $\overrightarrow{PQ}$는 $\gamma$평면 상에 놓여 있어야 하며, 이때, $$\theta_1 + \theta_2 = \frac{2}{3} \pi$$

임이 밝혀졌습니다.

🔑4(마지막!)

$\theta_1 + \theta_2 = \frac{2}{3} \pi$임을 이용하여

$\left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 cos^2(\theta_1) +  \left| \overrightarrow{PQ} \right|^2 cos^2(\theta_2)$의 최댓값 구하기

$cos^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1+cos(\alpha)}{2}$임을 이용하여 다음과 같이 정리하죠

이와 같은 과정으로 문제의 답은 24임이 밝혀졌습니다. 

사실 직관적으로 $\overrightarrow{PQ}$가 $yz$평면 상에 있을 때 최대가 됨을 직관적으로 파악하면 문제 푸는 과정 자체는 되게 쉬웠던 문제이지만, $yz$평면 상에 있어야 하는 이유를 밝혀내기가 좀 까다로웠던 문제입니다.

문제 풀이과정에서 쓰이는 삼각함수 공식은 이제 미적분에서 배우게 되고, 이 문제는 엄연히 기하 문제이기 때문에 미적분과 기하를 둘 다 알아야지만 풀 수 있는 문제기에, 더 이상 이런 문제 유형은 출제되지 않겠지만, 충분히 흥미로운 문제여서 한번 쯤 풀어보시면 좋을 문제입니다.

이상으로 14학년도 수능 가형 29번 문제 풀이를 마치겠습니다👏

2019학년도 수능 가형 30번 문제입니다.

설명하기 위해서 풀이가 좀 장황해진 느낌은 있지만 사실 풀이 과정이 (타 수능 문제 대비 상대적으로..)그렇게 어려운 문제는 아니었다고 생각하는데 문제를 푸시는 학생분들 입장에서는 어떠실지 모르겠네요😅

아래와 같은 순서로 풀이를 해나갑니다.

🔑1 : $g(x)$를 미분해보면서 어떠한 경우에 $g'(x)=0$, 즉 $\alpha$가 발생하는지

🔑2 : 문제에 나온 조건으로 $f(x)$의 식을 설정하고 $\alpha$값들이 어떠한 형태의 값들인지 확실히 하기.

🔑3 : $\frac{1}{g(\alpha_5)}=\frac{1}{g(\alpha_2)} + \frac{1}{2}$ 식에서 $\alpha_5$, $\alpha_2$ 중 적어도 하나는 $-\frac{m}{9}$ 값을 가져야 함을 보임(m값은 제가 문제 풀이 과정에서 임의적으로 설정한 문자입니다. 풀이 과정에서 알게 되실 겁니다.)

🔑4 : 1. $\alpha_2 = -\frac{m}{9}$ 상황 // 2. $\alpha_5 = -\frac{m}{9}$상황 중 문제 조건에 위배되지 않는 상황을 밝혀내고, 

🔑5 : $\alpha_5 = -\frac{m}{9}$ 에서 문제 답 유도해내기

그러면 이제 시작해보죠ㅎㅎ

🔑1

먼저 $g(x)$가 $x=\alpha$에서 극값을 가지기 때문에 $g(x)$를 미분하는 것 부터 시작해야겠죠?

$-1\leq\sin(f(x))\leq1$이므로 분모는 0이 되지 않으며 항상 양수의 값을 가지기 때문에 도함수 내에 분자 성분으로만 함수의 극점이 결정됨을 알 수 있습니다.

따라서, 함수 $g(x)$는

1. $f'(x)=0$이 되는 곳,

2. $cos(f(x))=0$, 즉 $f(x)= \frac{2k-1}{2}\pi$(예를 들어 $\frac{1}{2}\pi$, $\frac{3}{2}\pi$, ...)

두가지 경우에서 극값을 가짐을 알 수 있습니다.

🔑2

이제 문제의 정보를 이용하여 함수 $f(x)$를 설정해야겠다고 생각했습니다.

이와 같은 과정으로 함수 $f(x)$의 미정 계수들을 어느정도 줄일 수 있게 되었습니다.(a 제외)

$f(x)= 6\pi x^3+ax^2+\frac{\pi}{6}$

여기서 문제 에서 요구하는 답에 해당하는 $a^2$값과 혼동하지 않기 위해, 그리고 문제 풀이의 편의상 $a$를 $m\pi$로 설정하겠습니다.

$$f(x)= 6\pi x^3+m\pi x^2+\frac{\pi}{6} , f'(x)= 18\pi x^2+2m\pi x = 2\pi x(9x+m)$$

위에서 구했던 바에 의하면 함수 $g(x)$는

1. $f'(x)=2\pi x(9x+m)=0$이 되는 곳,

2. $cos(f(x))=0$, 즉 $f(x)= \frac{2k-1}{2}\pi$(예를 들어 $\frac{1}{2}\pi$, $\frac{3}{2}\pi$, ...)

위 두가지 상황에 극값을 가지게 되므로, 즉 함수 $g(x)$는

$x = 0, -\frac{m}{9}$ 또는 $f(x) = \frac{2k-1}{2}\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$ 로 만드는 $x$들에서 극값을 가짐을 알 수 있습니다.

$\alpha_1 = 0$이었고,

**$\alpha_2$, $\alpha_3$, $\alpha_4$... 들은 $-\frac{m}{9}$이거나, $f(x) = \frac{2k-1}{2}\pi$로 만드는 $x$들이라고 할 수 있습니다.**

🔑3

이제 $\frac{1}{g(\alpha_5)}=\frac{1}{g(\alpha_2)} + \frac{1}{2}$ 등식을 살펴보죠.

위 등식의 $g$함수에 관한 식을 $f$에 관한 식으로 고치면,

$$sin(f(\alpha_5)) = sin(f(\alpha_2)) + \frac{1}{2}$$

위 형태로 식을 고칠 수 있습니다.

여기서 만약 $\alpha_5$나 $\alpha_2$ 두 값 모두 $-\frac{m}{9}$가 아니라면,

$f(\alpha_5)$ 와 $f(\alpha_2)$ 모두 $\frac{2k-1}{2}\pi$ 값을 가지게 됩니다. 이 때, $sin(f(\alpha_5)), sin(f(\alpha_2))$는 -1 또는 1의 값을 가지게 되고,

$sin(f(\alpha_5))=1$, $sin(f(\alpha_2))=-1$

$sin(f(\alpha_5))=-1$, $sin(f(\alpha_2))=1$

$sin(f(\alpha_5))=1$, $sin(f(\alpha_2))=1$

$sin(f(\alpha_5))=-1$, $sin(f(\alpha_2))=-1$

중 어느 상황에서도 $sin(f(\alpha_5)) = sin(f(\alpha_2)) + \frac{1}{2}$이 만족되지 않습니다.

따라서 $\alpha_5$, $\alpha_2$ 중 적어도 하나는 $-\frac{m}{9}$의 값을 가져야 합니다.

그래서 1. $\alpha_2 = -\frac{m}{9}$ 상황 // 2. $\alpha_5 = -\frac{m}{9}$ 두가지 상황으로 나누어 문제를 풀 것입니다.

🔑4

※ 1. $\alpha_2 = -\frac{m}{9}$일 때 (모순임을 밝힐 것입니다!)

$sin(f(\alpha_5)) = sin(f(\alpha_2)) + \frac{1}{2}$ 등식에 $f(\alpha_5)=\frac{5}{2} \pi$를 대입하면 $sin(f(\alpha_2))= \frac{1}{2}$결과가 나오게 되고,

$-\frac{\pi}{2}\leq f(\alpha_2)<\frac{\pi}{6}$에 대해서 $sin(f(\alpha_2))= \frac{1}{2}$의 해가 없음을 알 수 있습니다.

따라서 $\alpha_2 = -\frac{m}{9}$는 모순되는 상황입니다.

※ 2. $\alpha_5 = -\frac{m}{9}$일 때 (여기서 답이 나옵니다)

** $g'(x)$ 값을 0이 되도록 하는 $x$를 순서대로 나열한 것이 $\alpha$ 값들 이라는 점,

** $f(x)$가 (0,$-\frac{m}{9}$)에서 단조 감소함을 이용하여

$f(\alpha_2)=-\frac{\pi}{2}$이고, $-\frac{7}{2} \pi \leq f(\alpha_5) < -\frac{5}{2} \pi$임을 밝혀 냈습니다.

🔑5(마지막!)

이렇게 알아낸 것들을 $sin(f(\alpha_5)) = sin(f(\alpha_2)) + \frac{1}{2}$에 대입하여 m값을 구하고 문제 답을 쓸게요.

이렇게 문제의 답 $a^2 = 27$이 나왔습니다.

풀이 과정에 대해서 요약하자면,

🔑1 : $g(x)$를 미분해보면서 어떠한 경우에 $g'(x)=0$, 즉 $\alpha$가 발생하는지

1. $f'(x)=0$이 되는 곳,

2. $cos(f(x))=0$, 즉 $f(x)= \frac{2k-1}{2}\pi$(예를 들어 $\frac{1}{2}\pi$, $\frac{3}{2}\pi$, ...)

🔑2 : 문제에 나온 조건으로 $f(x)$의 식을 설정하고 $\alpha$값들이 어떠한 형태의 값들인지 확실히 하기.

$\alpha_1 = 0$이고, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\alpha_4$... 들은 $-\frac{m}{9}$이거나, $f(x) = \frac{2k-1}{2}\pi$로 만드는 $x$들임.

🔑3 : $\frac{1}{g(\alpha_5)}=\frac{1}{g(\alpha_2)} + \frac{1}{2}$ 식에서 $\alpha_5$, $\alpha_2$ 중 적어도 하나는 $-\frac{m}{9}$ 값을 가져야 함을 보임

$\frac{1}{g(\alpha_5)}=\frac{1}{g(\alpha_2)} + \frac{1}{2}$ 👉 $sin(f(\alpha_5)) = sin(f(\alpha_2)) + \frac{1}{2}$으로 식 변형,

$sin(f(\alpha_5))$, $sin(f(\alpha_2))$가 -1 또는 1의 값을 가지면 위의 식을 만족하지 못하므로, $\alpha_5$, $\alpha_2$ 중 적어도 하나는 $-\frac{m}{9}$

🔑4 : 1. $\alpha_2 = -\frac{m}{9}$ 상황 // 2. $\alpha_5 = -\frac{m}{9}$상황 중 문제 조건에 위배되지 않는 상황을 밝혀내고, 

2. $\alpha_5 = -\frac{m}{9}$에서만 문제 조건을 만족할 수 있음, 이때 $f(\alpha_2) = -\frac{\pi}{2}$, $f(\alpha_5) = -\frac{17}{6} \pi$

🔑5 : $\alpha_5 = -\frac{m}{9}$ 에서 문제 답 유도해내기

$m=-9$, $f(-\frac{1}{2})=-3\pi + \frac{\pi}{6}$, $f'(-\frac{1}{2})=\frac{27}{2} \pi$, $g'(-\frac{1}{2}) = 3\sqrt{3} \pi$, $\therefore  a^2=27$

이상으로 풀이를 마치겠습니다!